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\A{ÿ L ) + —°Ay +c'Ax 3 
multipliant cette équation par 2 et intégrant, on obtiendra, 
y 1 -f- x 2 = 2cy -f- 2c'x-f-c" 3 
et en changeant les constantes arbitraires 
(y -f- af + (x + /?) 2 =y* 
équation du cercle, d’où il suit, que parmi tous les polygones avec les mêmes 
côtes, celui qui est inscrit dans le cercle, renferme la plus grande aire. 
Quant à l’équation aux limites, P"— P'=.0, on voit que les limites étant 
fixes, on a dx' = ôx" = ôy' = ôy" — 0 ; donc cette équation est satisfaite. 
2. Trouver la forme que prend un polygone pesant dont la pesanteur est 
uniforme, et dont les côtés sont donnés. 
On sait par la statique que lorsqu’un système auquel la pesenteur est la 
seule force agissante, est en équilibre, son centre de gravité sera le plus bas 
possible. Donc si y' est la distance de ce point à une ligne horizontale, on a 
ôy' = 0. Soit la ligne des abscisses une ligne horizontale dans le plan du 
polygone, et soient x et y les coordonnées. Or la pesanteur du polygone 
étant uniforme, le centre de gravité de chaque côté sera situé dans son milieu, 
donc les coordonnées de ces centres de gravité seront x -f- \Ax et y -j- \Ay^ 
et leur masse = As = Y {Ax 2 -\- Ay 2 ) en remarquant que les masses sont pro 
portionnelles aux côtes. 
On aura donc 
, 2(y+iAy)y/(A.r 2 +Ay 2 ) * __ . 2(y+|Ay) y/(A^ 2 + A# 2 ) __ Q 
* 2 v / (Aæ >2 + Aî/ 2 ) 5 ' * 2 V / (A^ 2 + A// 2 ) 
ou puisque ¿y(ir 2 +4 2 ) est donnée, ô2\y -f- \Ay) ]/(Ax 2 -\- Ay 2 ) — 0. 
donc 
/( j, y, A*, Ay) == (y +1 Ay) / (A.r 2 + Ay 2 ), vz=V (A.r 2 + Ay 2 ) ; 
et par suite 
.W= A. + 
Les équations, 0= (p(x-j-Ax) — A(p(Ax) et 0 = (p(y-\-Ay) — A(p{Ay) de 
viendront donc 
j{(y+\jy + / ) = 0 et /l(± Js + (y + l^y+yy^^O 
d’ou l’on tire en intégrant