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(ÿ + \ -'U + » ~ — <■, et s + lJs—(n + ^Jy + /)-^-=c' 
et en éliminant L s-\-XJs——— — c'. 
Z AT 
Si les deux extrémités du polygone sont fixes, l’équation aux limites est 
satisfaite. Lorsque c et c' sont connus, rien n’est plus facil que de construire 
le polygone ; car étant la tangente de l’angle compris entre le côté s et la 
ligne horizontale, et s et z1s étant donnés dans chaque cas particulier, on connaît 
les côtés et les angles qu’ ils forment avec une droite donnée et par conséquent 
il est facile de construire le polygone. Les constantes c et c' dépendent des 
coordonnées des extrémités, et des côtés du polygone, et on pourra sans diffi 
culté les trouver ; mais comme cela est un peu prolixe, et qu’ il n’ appartient pas 
proprement ici, je ne m’y arrêterai pas. 
Scolie. Le point essentiel dans l’application des équations générales 
trouvées plus haut, est l’expression des équations de condition. Cela n’a pas 
de difficulté lorsque la condition est exprimée directement par une équation 
p. ex. (f(æ, y, z) = 0; car il ne s’agit donc que de varier cette équation, mul 
tiplier cette variation par un coefficient indéterminé, et l’ajouter à l’expression 
sous le signe d’intégration. Si au contraire une certaine relation entre les 
quantités variables n’est pas constante, mais donnée dans chaque cas particulier, 
il faut égaler à zéro les variations des quantités qui dans ce cas se changent 
pour tout accroissement fini z/x, Jy, etc. et de cette manière la condition sera 
exprimée par une équation. Si p. ex. il s’agit d’un polygone, dont les coor 
données des sommets ont pour chaque cas particulier une certaine relation 
entre elles, exprimée par l’équation y(x, y, z, etc. a) — 0, où a est une quan 
tité, donnée pour chaque sommet, il faut de cette équation tirer a=F(x,y,z, etc.) 
et faire ensuite ôa — 0 = dF(x, y, z, etc.). Si la condition était que l’intégrale 
d’une certaine fonction était donnée entre des limites déterminées, on pourrait 
faire usage de la méthode suivante: {Lagrange). 
Soit u la fonction dont l’intégrale est donnée entre les limites données. 
Je fais s=2u, et la condition sera âs 1 —ôs”—0 puisque la différence s 1 —s" 
est donnée. On a donc J s ■=. ?/, ou Js—?/,= 0; voilà donc T équation de con 
dition qui a lieu pour toute l’étendue de l’intégrale, on n’a donc qu’à multi 
plier la variation de cette équation par un coefficient indéterminé, et l’ajouter 
à la quantité sous le signe d’intégration, qui devient par là