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sont donc nécessaires pour que U soit une différence complète ; que ces mêmes 
équation sont aussi suffisantes pour cet effet, ou que la fonction U doit néces 
sairement être une différence complète lorsque ces équations ont lieu, se fait 
voir comme suit. 
En vertu des équations (B) on a 
dZU=.âx.P ,J rày.Q’ + etc. $Jx.P" + Ôjy. Q" + etc. 
et en intégrant 
l'U=f(dx. P' -|- dy. Q' -J- etc. djx. P" -|- djy. Q" etc. 
Donc pour que U soit une différence complète, il faut que dx.P'-\-dy.Q'-\- 
.. dJx. P" -f- dJy. Q" -f- etc. soit une différentielle complète. Il faut donc 
qu’on ait 
Or on voit aisément qu’on tire des équations (B) par intégration 
P'=Zf'(x), Q'=Zf'(y) etc. P n ~^f\x + Jx)-2f'(Jx\ Q"=2*f'(y + Jy)-2f\Jy), etc. 
P'" = ¿ 3 f'(x -f- 2Jx-{- J^x)—-j- /Jx'Ÿ) -f- 2f'{J*x) etc. 
On aura donc par là et ijyÇ) ~ ^ f"{ x j y) 
{—)=Jy)- Zf"(Jx,Jy), (^)=^Y"(2/+ - - 2f\Jx,Jy) 
etc. 
On voit donc que les condition nécessaires et suffisantes sont satisfaites. 
La fonction U sera donc nécessairement une différence complète, lorsque les 
équations (B) ont lieu. 
Pour une application plus commode des équations (B) je me servirai de 
la signification suivante: 
Lorsque dans une fonction U au lieu des variables on met les mêmes, aug 
mentées de leurs différences finies, je signifierai cette opération par EU de 
sorte que EU—U-\-JU. La répétition de la même substitution sera signifiée 
par E?U—EEU=U-\-2JU-\-J*U. Si au contraire au lieu de x on met 
x—Jx, cela sera signifié par E~ X U, E~ 2 U etc. Les équations (B) deviendront 
par la: 
0 =/'(*) — + 
0 =zf>(y)-AE-ifi&y) +^E^fi^y)-^E-Vi^y) +№E-*f'(A*y) .. 
0 =/'(z) — AE-'fiAz) + AïE-y^z)—*\ 3 E-*f'(A*z) + A 4 P- 4 /'(A 4 s) . X 
etc.