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On aura de même: 
2 l/==fdx. [E~ x f\Ax)—AE^f (A 2 *) + A 2 Ii- 3 /'(A 3 .r) —. .] 
+ fdy.[E-if'(Ay)-AE-*f>{A*y)+A*E-*f>{A*y)-..] 
+ etc. 
+fdAx .[E~ x f'(A*x)— AE~*f'(A*x) +A 2 ii- 3 /'(A 4 .r)— ..] 
+fdby.[E-'f'(ü*y)-£iE-*f'(tfy) + №E-zf'(tfy)-..-] 
+ etc. 
+fdA‘ 2 x[E- x f'(A*x) — AE-‘ 2 f'(A*x) +..] 
+/r/A^[Æ- 1 /'(A 3 ?,) — AE-'f'^y) + ..] 
+ etc. etc. 
Je vais appliquer cela à quelques exemples. 
1. Rechercher si log ( X ~~^" X A est une différence complète. 
On a ici f(x, dx, d^x) =log (x—d 2 x) — log (x—dx), on aura donc: 
1 1 s'., S ^ 1 x 1 
f(*) = 
x—A 2 jt x—A.r x—Ax 
Les équations (C) deviendront donc: 
f’(d*x) — 
x — A 2 .r 
x—idx 
1 
x—Ax 
dE- 1 
d 
x—Ax 
d*E- 
x—A 2 .r 
0, ou bien 
z/ 2 
x—A*x x — Ax " E~ x x—E~ l Ax E~‘ z x—E~ 2 A^x 
or d^x—E^x—2Ex-¡-x, dx—Ex—x, donc 
1 1 y 1 Sn 1 
2 Ex—E^x 
1 1 
2x — Ex 
1 
— d 
+ 
2E~ l x—x 
1 
+ *7^ 
— d* 
1 
2 E~ l x—x 
2 
+ 
= 0, d’où enfin 
1 
= 0. 
2Ex-E‘ l x 2x-Ex 2 x-Ex 1 2E~ l x-x 1 2Ex-E 2 x 1 2 x-Ex 2E~ l x-x 
Or cette dernière equation étant identique, on en conclut que log i — J 
\ JC — CaJC / 
est une différence complète, et que 
su * ddf) =/• ix ( E - l d^+ E ^dd + ^ E d'*(ro + 
J - dd+• • -=f(dd ~ dd) = lo s 
Par rapport à £ on doit remarquer les relations suivantes: 
E<p{u)=q>(EU), E(dU) — d{EU) s 2(EU)=E(2Ü) 3 E n d m U= 
d m E n U 3 E a Z m U=Z m E n U. 
E n U= U+ ndU+ dddü j* UJr d( n ^)(n-2) u _^_ etc 
2.3 
E~ tt U— U—ndU4- ddddl ^ U— ”(” +1 )(”+ 2 ) j* u jl. etc. 
2 2.3 
(D 
(2)