XVI.
Démonstration de quelques formules elliptiques.
1.
Soient a 0 , a l9 a z ...b 0 , b 19 b 2 des quantités quelconques dont l’une au
moins est variable. Soit
P = «o + a r x + «a** + • • • >
^ = K + ^i x + b^x 1 + ...,
et supposons
1. p 2 —q 2 (l— cV)(l + eV)=il (x —- <p9 y )(x—q>9 2 )...(#—(pôj,
où A est une constante. Alors je dis qu’on aura
?(+ dh ^2 ± ± • • • ± W = &
en déterminant convenablement le signe des quantités 9 1? 9 2 ,... 9^.
Démonstration. En posant dans l’équation (1) x égal à Tune des quanti
tés <pO t , q>9 2 , •. • (pOp, on aura,
2. p 2 — ^ 2 (1 — c 2 x 2 )(l -f- e 2 x 2 ) = 0,
d’où l’on tire, p = + (1 — c 2 # 2 ) (1 -j- eV) ;
ou bien en faisant x = q9,
p = -j- q.fQ.FQ.
Désignons le premier membre de l’équation (2) par R, on aura, en différentiant
par rapport à x et « 0 , a y ... b oi b y ...
3. (cf) dx + iB — 0’
où le signe â se rapporte seulement aux quantités a 0 , a ... b 0 , b y ..mais
ôR = 2pdp — 2qôq (1 — c 2 x 2 ) (1 e 2 x 2 )
= 2pdp — 2qôq (f$) 2 . (FO) 2 .
Donc en mettant pour p sa valeur + q .fb.Fb, et pour q sa valeur + ?
âR = -J- 2/*9. Fü(qâp — pâq).