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E"/I a U— U + ?jz/ m + l U + ¿/”+»U + etc (3) 
E~ n J m u— J m U— nJ m + x U-\- J m +* U— etc (4) 
2 
¿/ m U = E m U — ¿7 + E m ~* U — etc (5) 
m 
E n J m U~ E m + n U— mE m+n ~ l U-\- — 1 fo -1 ) E m + n ~ 2 Z7 — etc (6) 
2 
E~ a z! m Z7= Æ’ m - n ¿7— wÆ' m - n - 1 ¿7 + —fo'P. ^m-n-2 ¿7 __ etc (7) 
2 
2. Rechercher si e x (e^ x —1) est une différence complète. 
On a ici f'{x) = e x (e /ix —1), f , (Jx) = e /ix e x , donc f'(x)—E~ X Jf'(Jx) 
= e\e àx -1)— JE~ 1 {e x + /,x )=ze x {e Jx -1 ) — Je x — e (e^ x -1) — e x +^ x +e x = 0, 
donc e x (e^ x -1) est une différence complète, et E(e x (e ¿jx -l)')=fdx .(E^e^e ) 
=fdx.e x = e x j ce qui est connu. 
Considérons maintenant l’intégrale double E 2 U. Pour que cette intégrale 
soit exprimable, il faut que EU le soit de même. Donc d’abord les équations 
(C) doivent être satisfaites. Mais outre ces équations on en aura un nombre 
pareil qui se trouve comme il suit. Soit U = f(x,, Jx y d^x,.. y, ¿/y, J 2 y ..), 
on a, lorsque les équations (C) ont lieu: 
2 2 5 Z7= 2§.r . [E- 1 /'(A.r) — AE~ 2 f'(A 2 x) + A 2 E~ 3 f(A 3 x) — etc.] 
+ 2ôA.r [2ï"* 1 /'(A 2 :r)— AE~ 2 f'(A 3 x) + A 2 E~ 3 f'(A 4 x) — etc.] 
+ 25A 2 j:[ií -1 / / (A 3 -r)—AJ£~ 2 /'(A 4 .r) . . . . etc.] 
-t- etc. 
ou en faisant usage de la notation abrégée: 
2 2 5Z7z= 2[S^t.ç(Aj:) ■+- 5A.r. cp(A 2 x) + ÔA 2 x.<p(A 3 x) + .. .] 
+ 2[5ÿ• o(A^) + 8Ay.ç(A 2 y) + 8A 2 y.(p(A 3 y) + ...] 
+ etc. 
Or pour que toutes ces intégrales soient exprimables, on doit avoir, d’après 
ce qui précède, les équations de condition suivantes : 
0 == ç(A.r) — E~ 1 A<p(l 2 \r) + E~ 2 A 2 ç(A 3 x)— jG~ 3 A 3 ç(A 4 j:)+ etc. 
0 = ç>(Ay)— E~ 1 A(p(A 2 y) + ÜT~ 2 A 2 9(A 3 #) — 2£~ 3 A 3 cp(A 4 ÿ) + etc. 
Substituant ici les valeurs de y(Jx), (p(J 2 x), (p(J z x) etc. on obtiendra: 
E-'f>(Ax) — AE~ 2 f>{A 2 x) + A 2 E~ 3 f f (A 3 x) — A 3 2?- 4 /'(A 4 .r) + etc. 
— AE~ 2 f'{A 2 x) + A 2 E~ 3 f'{A 3 x) — A 3 E~*f'(A*x) + etc. 
+ A 2 E~ 3 f'(A 3 x) — A 3 iî _4 / / (A 4 .r) + etc. 
— A 3 E~ A f'(A*x) + etc.