(fx = sin x, fy = sin y, 'ipa = sin a, et par suite 
sin(# + y) = sin a?, sin'y -f- sin y. sin' x. 
Trouver les trois fonctions qui sont déterminées par l’équation 
xp(x + y) — f{xy) + <p(x — y). 
Différentiant par rapport à x en supposant x + y constant, on aura 
0 = f\xy) .(y — x) + 2<p'(x — y). 
Maintenant pour trouver y, soit xy — c et x — y — «, on aura 
(p'a = k.a 
donc (pu — k' .a 1 . 
Pour trouver fj soit xy=p et x — y — c> on aura 
f'P = # 
donc fp = c" + dp. 
Ces valeurs de cpa et f p étant substituées dans l’équation donnée, on obtiendra 
't( x + y) = c " + C ' X !J + h ' + \( x — ?/f- 
Pour déterminer ip, soit x + y = «, d’où l’on tire y = a — x; 
donc 
ipu— c"-j-c'x(ci—x)-\-k'-\- A (2x—«) 2 =£"-f- A a^-j-k'-j-xa(c'—2k)-\-(2k—r’)x 2 . 
Pour que cette équation soit possible, il faut que x s’évanouisse ; donc on aura 
2k — c’ = 0, et c 1 — 2k. 
Cette valeur étant substituée donne 
ipa — k 1 + c" -j- A f/. 2 , 
fp = c»+2kp, 
(fy = k’+ A 
qui sont les trois fonctions cherchées. 
Comme dernier exemple je prendrai le suivant: 
Déterminer les fonctions cp et f par l’équation 
(p(x + y) = (px.fy + fx.(py. 
En supposant x -f- y — c, et en différentiant, on obtiendra 
0 = (p’x.fy — (px.f’y -j- f'x.tpy •— fx.cp'y. 
Supposons de plus que f(0) = 1, et </!(0) = 0, et nous aurons en posanty=0: 
0 = (p'x — (px.c fx. c' ; 
fx = k(px -j- Â"'q 'x. 
donc