XVIII.
Résolution de quelques 'problèmes à Vaule d’intégrales définies.
1.
La valeur de l’expression q{x + y\/—1) + <p(.r—y\é—1).
Lorsque cp est une fonction algébrique, logarithmique, exponentielle ou cir
culaire, on peut, comme on sait, toujours exprimer la valeur réelle de
cp(xyY—1) H- q>(x — y—1) sous forme réelle et finie. Si au contraire
rp conserve sa généralité, on n’a pas que je sache, jusqu’à présent pu l’expri
mer sous forme réelle et finie. On peut le faire à l’aide d’intégrales définies
de la manière suivante.
Si on développe <p{x-\-yY— 1) et ip{pc— y\f— 1) d’après le théorème
de Taylor, on obtient
<p(*+yV—t)=tpx+q>'x.yV— i— 4 • •
(p{*—yV— 1)=<^—y'x.yY—,1— j^r-y 2 -h 'V Z V— 1 + ^ -y*—-"
donc
<t>(x + yV—ï) + <f(x—yV—l)—2(cpx — ^.1/+ j2**j-y* — •••)■
Pour trouver la somme de cette série, considérons la série
<p{x + t) = (px + t.cp’x -{- ■Ç--cp”x+ -^-<p"'x+...
En multipliant les deux membres de cette équation par e~ v2l % et prenant en
suite l'intégrale depuis t = — oo jusqu’à t = -J- oo, on aura
P (p{pc-\-t).e~ v2t2 .dt=.ipx P e~ v7t2 .dt-{-(p'x P e~ v " t2 ,tdt-\-^cp' , x P e~ v ' t2 .t 2 dl-\—
J -oo J -oo «/ -oo J -OO