Full text: Contenant les oeuvres de l'auteur qui n'ont pas été publiées auparavant (Tome 2)

XVIII. 
Résolution de quelques 'problèmes à Vaule d’intégrales définies. 
1. 
La valeur de l’expression q{x + y\/—1) + <p(.r—y\é—1). 
Lorsque cp est une fonction algébrique, logarithmique, exponentielle ou cir 
culaire, on peut, comme on sait, toujours exprimer la valeur réelle de 
cp(xyY—1) H- q>(x — y—1) sous forme réelle et finie. Si au contraire 
rp conserve sa généralité, on n’a pas que je sache, jusqu’à présent pu l’expri 
mer sous forme réelle et finie. On peut le faire à l’aide d’intégrales définies 
de la manière suivante. 
Si on développe <p{x-\-yY— 1) et ip{pc— y\f— 1) d’après le théorème 
de Taylor, on obtient 
<p(*+yV—t)=tpx+q>'x.yV— i— 4 • • 
(p{*—yV— 1)=<^—y'x.yY—,1— j^r-y 2 -h 'V Z V— 1 + ^ -y*—-" 
donc 
<t>(x + yV—ï) + <f(x—yV—l)—2(cpx — ^.1/+ j2**j-y* — •••)■ 
Pour trouver la somme de cette série, considérons la série 
<p{x + t) = (px + t.cp’x -{- ■Ç--cp”x+ -^-<p"'x+... 
En multipliant les deux membres de cette équation par e~ v2l % et prenant en 
suite l'intégrale depuis t = — oo jusqu’à t = -J- oo, on aura 
P (p{pc-\-t).e~ v2t2 .dt=.ipx P e~ v7t2 .dt-{-(p'x P e~ v " t2 ,tdt-\-^cp' , x P e~ v ' t2 .t 2 dl-\— 
J -oo J -oo «/ -oo J -OO
	        
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