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donc on ajoutant: 
E~ x f'(Jx) — 2E~*Jf'(J*x) + 3E~ 3 JY'( J3 x) — 4E-*jy'(J*x) + etc. = 0. 
On aura des équations semblables par rapport aux autres variables; et 
lorsque dans ces équations on met x-\-dx au lieu de x, on obtiendra outre 
les équations (C) celles-ci: 
0 =/'( Aj-)— 2A£’-y'(A 2 .r) + 3A 2 J£- 2 /'(A 3 .r)— 4A 3 E~ 3 f'(A*x) + etc.) 
0 —f'(ïy) — 2AE-'f'^y) + SA— AA 3 E~ 3 f{A^y) + etc. I (])) 
0 =/'( As) — 2A E~ l f\A?z) + 3A 2 i?- 2 /'(A 3 z) — 4A 3 E~ 3 f \A*z) + etc. j 
+ etc. 
Si Ton veut de plus que 2*U soit exprimable, il faut aux équations (C) 
et (D) encore ajouter les suivantes: 
0 = /'(A 2 .r) — ZAE- x fXA 3 x) + №E-*f>(A*x)— 10A 3 E~ 3 f\A*x)+ . .. 
0 = f'^y) — SAE~ x f\A 3 y) + 6A 2 J£- 2 /'(A 4 #) — 10A 3 J£- 3 /'(A 5 #) + ... \ (E) 
0 = /'(A 2 z) — 3AE~ l f\A 3 z) + 6A 2 Jÿ- 2 /'(A 4 z) — 10A 3 ^- 3 /'(A 6 z) + ... J 
+ etc. 
Si l’on demande que 2 m U soit une intégrale complète, il faut aux équa 
tions de condition nécessaires pour que 2 ïfl ~ x U soit une intégrale complète 
ajouter les suivantes: 
0 =/'( A m-1 .r)— aAE~ 1 f'(A m x) + a'A 2 E~ 2 f'(A m ^' l x)—a"A 3 J5 _3 / / (A m+2 x) + etc.) 
0 = f\A m ~ l y)— aAE~\f'(A m y) + a , A‘ 2 ‘E~ 2 f'(\ nt + 1 y)—a" A 3 E~ 3 f '(A m+ ‘ z y) + etc. I ^F) 
0 = i /’ , (A m-1 z) — aAE~ 1 f'(A m z) -f a'A 2 E~‘ 2 f / (A m + l z)—a"A 3 E~ 3 f , (A m +‘ z z) + etc. j 
+ etc. , 
ou l’on a: 
« ™ m(m+l) m(m+l)(m + 2) m(m+l)(m+2)(m+3) ^ 
a — m,, a — - , a — a — —“374 etc 
^Cn) m(m+l)(m+2) ... (m+n-l)(m+n) 
" a 2 . 3 . 4 . ... (n+1) “ 
A l’aide de ces équations on peut donc décider si une fonction de plusieurs 
variables et de leurs différences, est une différence complète d’un ordre quel- 
conque.