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2.3d=^(-, 1 - r )=—,—^—=, doncd=i ——-L- 
V«(«+l) J a(a+l)(a+2) d a(a+l)(a 
2.3A £ =J 
2 
2.3 
» 
fl(a+l)(a+2) a(«+l)(a+2)(a+3) 5 
En général on aura 
1 1 
donc s = — 
î 
¥* 
+2) * 
1 
«(a+l)(a+2)(a+3) 
4- 
où le signe -j- a lieu lorsque n est impair 
— n c(a+l)(a+2) ... (a+n-iy 
et le signe — dans le cas contraire. 
Pour trouver a on peut faire x—0 dans la série supposée, ce qui donne 
« = /,«. En substituant les valeurs trouvées des coefficiens on obtiendra: 
)(.r-2)(.r-3) 
L(a —j- x')—La • 
x(x-\) .r(.r-l)(.r-2) 
-)- etc. . (2) 
a 2a(a+l) 1 3a(a+l)(fl+2) 4«(a+l)(a+2)(a+3) 
Si dans cette formule on donne à x une valeur entière et positive quel 
conque, il est évident que la série ne contiendra qu’un nombre limité de termes; 
connaissant donc L[a), on connaîtra de même L(a-\-n), où n est un nombre 
entier positif, en ajoutant à L(a) une fonction entière de a et de n. Faisant 
p. ex. x-=l, 2, etc. on aura. 
M a ~h 1) — M a ) + 
L{a -j- 2) = L(a) 4- 
L(a 4- 3) = L(a) -f- 
a(a+1) 
3 
a(a+l) a(«+l)(a+2)* 
Donc si l’on connaît L(a) pour toutes les valeurs de «depuis «=1 jus 
qu’à «=2, on pourra trouver L(a) pour toute autre valeur de «. La fonc 
tion Lx = S contenant une constante arbitraire, on pourra pour une va 
leur donnée de a supposer une valeur quelconque de L{a). Nous ferons 
donc L( 1) = 0. 
Supposant successivement «=1,2,3 etc. on en déduira: 
L{2) = L( 1) + { = 1, L{3) = 14-J, L{4) = 14-14-1 etc. ou bien 
2,(1) = 0,0000000000 
_ 1 = 1,0 
2/(2) = 1.0000000000 
1 =0,5 
L{3) = 1,5000000000 
1 = 0,3333333333 
2,(4) = 1,8333333333 
1 = 0,25 
2,(5) = 2,0833333333 
2,(5) = 2,0833333333 
1 = 0,2 
2,(6) = 2,2833333333 
1 = 0,1666666666 
2,(7) = 2,4500000000 
i = 0,1428571428 
2,(8) = 2,592857142857 
| = 0,125 
2,(9) = 2,717857142857 
£ = 0,111111111111 
2/(10)=2,828968253968 
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