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Si dans l’équation (2) on fait «=0 et x—1, on aura Z(l)=Z/(0)-f-i, 
et à cause de L{ 1)—O, il viendra L(0)=—i =Mettant — a à la 
place de on obtiendra L(—a)=L(—(a—1)) -f- ~ . Il suit de cette expres 
sion que L(—n) = — oo, pour toute valeur entière et positive de n. 
On peut trouver un autre développement de la manière suivante: 
On a JLx=L(x-1-1)—Lx= Ì-, et puisque L(x-\-1) = LxL'x-\~ \L"x 
+ ~3 L"'x -)- etc. il s’ensuit que 
1 = L'x + iL"x+-^~ L"'x + etc. 
De là on pourra sans peine tirer la valeur de L'x en x, et ensuite par 
intégration celle de Lx. En effet considérons en général la fonction fx=i2(px. 
On obtiendra de la même manière l’équation suivante: 
<fx =f’x +1 f"x + f"'x + 2 * 4 f™x + etc. 
Supposons qu’on ait: 
f'x = (fx -J- ccy'x -|- fi(p"x -}- ycp'"x -f- etc. on en tirera 
ICI»-» 
""S 
h 
II 
1 (p’x ^ci(p"x ^(jcp"'x etc. 
II 
H 
V 
HS 
^3 ( P*+ïâ (X( P mx + etc - 
•t -fit» y. 
ïxi 
2.3.4?'"* +etC - 
etc. 
etc. 
En ajoutant et remarquant que f'x + lf"x+ ~ f'"x + . . = (px, on ob- 
ai • O 
tiendra 
0=(«+iy*+(/î+i«+ 27g ) <P w x+(y+¥ + ¿3 u + <P m *+ etc - 
donc a-\-^ — 0, 
d’où l’on tire, 
2.3 
À’ — tV’ y- 
M-+m=°- etc - 
0, â=— 7 | ïï , f = 0, etc. donc. 
f'x = çpx — — Tiuy"" x "f” etc - et en intégrant: 
2(f x=fiçxdx — px -f- — y\ôV'"^ ~f" e ^ c * 
Faisant maintenant cpx — JL, on a ^ = Lx, /(pxdx—logx 
c -}- Ioga - — 
2.3 
etc. et par suite, 
•lx 
etc. 
l'ix* 
120.r 4