Sur la comparaison des fonctions transcendantes.
Soit y une fonction algébrique quelconque déterminée par l’équation
0 = « + «i-y+ «*•/+• + i 1 )
«, a l9 .. étant des fonctions entières de x.
Soit de même
0 = q + q 1 .y + q 2 y + q 3 .y 3 + ...-{-q 1 ^ 1 .y m - 1 (2)
q, V19 ( fo etc * étant des fonctions entières de x et d’un nombre quelconque
d’autres variables, savoir les coefficiens des diverses puissances de x dans les
fonctions q, q x , q 2 , etc. Soient a, a 19 a 2 , a 3 .. . ces coeflïciens. Cela posé,
on peut tirer des deux équations (1) et (2) la fonction y exprimée rationnelle
ment en x et en a, a x , etc. Soit r cette fonction, on aura
y — r ( 5 )
En substituant cette valeur de y dans l’une des équations (1) et (2), on
aura une équation
s = 0 (4)
s étant une fonction entière de x, a, a l9 a 2 ...
Cette équation donne x en fonction des quantités «, a X9 etc. En diffé-
rentiant par rapport à ces quantités on aura
(-Ê)- dx + d ’ S = 0 ’
la caractéristique d' étant uniquement relative aux quantités «, a 19 a 2 etc.
De là on tire
et en multipliant par f(y,x), où f désigne une fonction rationnelle de y et x 9