* 
68 
Soient x l9 x t , x 3 ... # u donnés, et faisons 
p=(x—x x ) (x—x 2 ) (x — x 3 ).. . (x — x u ), 
on aura, en divisant l’équation s = 0 par p, une équation 
„ s' = 0 
dont les racines sont les quantités #„ +1 , x u+2 ... x n . 
Dans cette équation les eoefficiens contiendront les quantités a 9 a , a 2 
. .. a u _ t ] il faut donc exprimer ces quantités au moyen des quantités x x , x 29 x 3 
... x n . Cela peut se faire de la manière la plus facile en mettant dans l’équa 
tion (2) au lieu de x successivement x x , x 2 , x 3 ... x^. En effet, on obtiendra 
alors p équations linéaires en a, a , a 2 ...a^_ x qui serviront à les déterminer. 
En substituant ensuite ces valeurs dans l’équation s'=0, on aura une équation 
du degré n—p, dont tous les eoefficiens sont des fonctions des quantités 
x x , x 2 , x z ...x fl ' 1 par cette équation on peut donc déterminer les fonctions 
•^M+l ) **7*+2 • • • 
Il n’est pas difficile de se convaincre que, quel que soit le nombre p, on 
peut toujours faire en sorte que n— p devienne indépendant de p. Au moyen 
de l’équation (7) on peut donc exprimer la somme d’un nombre quelconque de 
fonctions de la forme 'ipx par un nombre déterminé de fonctions de la même 
forme, savoir 
ty( x i) + + • • + ^0*7*)=Q — OK^i) + ^(*2) + V(*a) + • • • + VM) 
en faisant x u+k — z k et n — p — v. 
On peut déterminer la fonction en donnant à chacune des quantités x x , x 2 
.. . x u une valeur particulière. Alors la formule devient: 
y(x x )+y(x 2 ) + ... + y(x u ) = e + V'(*' 1 ) + + • • • + 
— p'— \p(z x ) — 1p(z 2 ) — ... — ip(z y ) l ... (8) 
+ + • • + V(z’r) J 
en désignant par z' k la valeur de z k lorsqu’on donne aux variables x x , x 2 ...x u 
les valeurs x' x , x' 2 ... x’ u . 
Dans le cas où p est plus grand que v on peut trouver une formule 
beaucoup plus simple. En effet supposons qu’on ait entre les quantités 
x x , x^.^Xp les relations suivantes 
on aura aussi 
+ VM + • • * = c + q ;