32)
33)
XII.
Sur les fonctions génératrices et leurs déterminantes.
Soit cp(x, y, z...) une fonction quelconque de plusieurs variables x,y,z...,
on peut toujours trouver une fonction f(u, v, p ...) telle que
(f (x, y, Z ...) ==■fe xu +y v + % i+~\f(u, V, p du dv dp (1)
Dans cette équation j’appellerai cp la fonction génératrice de f et f la
déterminante de (p, et je ferai usage des significations suivantes:
(p(x, y, z...) =fgf(u, v,p...)\
/K v, p...) = Dcp(x, y,z...)]
Cela posé ? considérons d’abord les fonctions d’une seule variable, et soit
(px =Je vx .fv.dv (3)
on aura (px = fg.fv\
fv = Dcpx j ^
Soit de même cp x x —fe xv .f x v.dv,
on aura (px -{- <p x x = je xv (fv -|- f x v) de ;
donc D{cpx -f- (p x x)= fv -{- f x v\
or fv = Dcpx, f x v = D(p x x,
donc D(cpx -j- (f x x) = Dcpx -j- Dcp x x.
On aura en général:
D(cpx -f- (p x x cp 2 x -f- (p 3 x -]-...) = Dcpx Dcp x æ -f- D(p 2 x -j- Dcp z x . (3)
donc aussi
fgifv + /> + f*v + ...) = fgfv + fgf x v + fgf 2 v + (6)
D{acpx) = aDipx \
fg{afv) = a fgfv j ^
En mettant x-j-a au lieu de x, on aura
cp(x -f- a) = fe xv . e n v . fvdv
Dcp(x-\- a) = e av .Dcpx
fg(e ((V Dcpx) — cp(x-\-u)=fg{e ttv fv)
donc
(8)