Full text: Contenant les oeuvres de l'auteur qui n'ont pas été publiées auparavant (Tome 2)

32) 
33) 
XII. 
Sur les fonctions génératrices et leurs déterminantes. 
Soit cp(x, y, z...) une fonction quelconque de plusieurs variables x,y,z..., 
on peut toujours trouver une fonction f(u, v, p ...) telle que 
(f (x, y, Z ...) ==■fe xu +y v + % i+~\f(u, V, p du dv dp (1) 
Dans cette équation j’appellerai cp la fonction génératrice de f et f la 
déterminante de (p, et je ferai usage des significations suivantes: 
(p(x, y, z...) =fgf(u, v,p...)\ 
/K v, p...) = Dcp(x, y,z...)] 
Cela posé ? considérons d’abord les fonctions d’une seule variable, et soit 
(px =Je vx .fv.dv (3) 
on aura (px = fg.fv\ 
fv = Dcpx j ^ 
Soit de même cp x x —fe xv .f x v.dv, 
on aura (px -{- <p x x = je xv (fv -|- f x v) de ; 
donc D{cpx -f- (p x x)= fv -{- f x v\ 
or fv = Dcpx, f x v = D(p x x, 
donc D(cpx -j- (f x x) = Dcpx -j- Dcp x x. 
On aura en général: 
D(cpx -f- (p x x cp 2 x -f- (p 3 x -]-...) = Dcpx Dcp x æ -f- D(p 2 x -j- Dcp z x . (3) 
donc aussi 
fgifv + /> + f*v + ...) = fgfv + fgf x v + fgf 2 v + (6) 
D{acpx) = aDipx \ 
fg{afv) = a fgfv j ^ 
En mettant x-j-a au lieu de x, on aura 
cp(x -f- a) = fe xv . e n v . fvdv 
Dcp(x-\- a) = e av .Dcpx 
fg(e ((V Dcpx) — cp(x-\-u)=fg{e ttv fv) 
donc 
(8)
	        
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