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x y, x. o , y 3 x { y v d. i. das Dreieck 31 C A 
j y, xy21 X 8 y 3 d. i. „ 5) 31 B C 
X y, x l y v x 2 y , d. i. „ „ M A B 
Ans Gleichung 5) folgt daher die Proportion: 
a :b — M B C : M C A 
und aus Gleichung 6) 
b : c = M C A : 31 A B, 
welche sich verbinden lassen, und das Verhältniss der Gewichte a : b : c 
geben ; es ist nämlich: 
7) a:b:c = MB C: MCA-.MAB 
führt man diese Dreiecksflächen statt den Gewichten in die Gleichungen 
2) ein, und erwägt, dass die Summe derselben = A B C ist, so hat 
man die Coordinaten des Punktes M: 
r MB C.x l + M C A . x 2 + M A B . x^ 
r~ ABC 
8) ; MB C.y x + MCA.y 2 + MAB.y, 
l J ABC 
und wenn man zur weiteren Vereinfachung noch setzt: 
31B C 31 C A 31 AB 
ABC ~- Pl ’ ABC A B C lh: aUCi: 
ix = Pi Xi -C P->x 2 + V3 x 3 
9) i y = Pi Vi + p. 2 y. 2 + P 3 y 3 
welche Formel an Einfachheit nichts zu wünschen übrig lässt. 
§. 168. Bei der vorigen Entwicklung der Formeln 9) wurde still 
schweigend vorausgesetzt, dass der zu bestimmende Punkt 31 innerhalb 
des Dreieckes ABC liege; befindet er sich ausserhalb dieses Dreieckes, 
so bleiben die Formeln gültig, aber von den Verhältniss-Zahlen p { p 2 P 3 
werden eine oder zwei negativ. 
Das Vorzeichen dieser Grössen lässt sich leicht ermitteln, wenn man 
erwägt, dass die Summe aller Dreiecke, welche entstehen, wenn man 
einen innerhalb oder ausserhalb eines Polygons liegenden Punkt 31 mit 
den Umfangspunkten A, B, C, 1) ... . desselben verbindet, immer gleich 
der Polygonfläche A B C I) . . . . ist.