PREFACE. 
VII 
très général et très beau, n’épuise pas forcément une 
question. Il est bien d’autres théorèmes d’existence 
que ceux de Cauchy ('). D’ailleurs, des cas très inté 
ressants peuvent se présenter où cet énoncé tombe en 
défaut. 
Cela nous amènera à la théorie des caractéristiques, 
définies précisément comme multiplicités d’exception 
relativement au théorème de Cauchy. 
Et la théorie des caractéristiques nous conduit à la 
classification des équations du second ordre, en types 
elliptiques, hyperboliques, paraboliques. 
L’équation de Laplace est du type elliptique; nous 
indiquons, après la théorie du potentiel, la solution 
qui résulte de l’œuvre de M. Fredholm. Puis nous 
parlons de certaines équations du type hyperbolique, 
linéaires et complètement intégrées; en particulier, 
ceci nous permettra de montrer la valeur de deux idées 
qui, dans cet ordre, se rejoignent constamment et se 
complètent : la Méthode de Riemann et les Approxi 
mations successives de M. E. Picard. 
Enfin, on a, à ce jour, assez peu de résultats très 
généraux sur le type parabolique. C’est encore une 
équation intégrale qui semble devoir jouer ici un role 
important. Nous donnons donc simplement, à ce sujet, 
une étude rapide du célèbre problème d’inversion 
d’Abel et des équations intégrales de M. Yolterra. 
Mon but sera atteint si j’ai amené quelques jeunes 
étudiants à réfléchir sur quelques-unes des hautes ques- 
( ! ) Voir les Conférences de M. Picard et la Notice sur les tra 
vaux de M. Hadamard. Paris, Gauthier-Villars.