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Abel. 
Die nämliche Eigenschaft kommt einer gewissen Klasse von Gleichungen 
zu, auf die ich durch die Theorie der elliptischen Functionen geführt 
worden bin. 
Allgemein habe ich den folgenden Satz bewiesen: 
Wenn die Wurzeln einer Gleichung beliebigen Grades unter 
einander derart verbunden sind, dass sich diese sämtlichen 
Wurzeln rational mittelst einer von ihnen, die wir mit x be 
zeichnen, ausdriicken lassen; wenn man ferner, falls durch 
ihr, bj# zwei beliebige andere Wurzeln bezeichnet werden, 
O&p» = iljh# 
hat, so ist die betreffende Gleichung immer algebraisch auf 
lösbar. Ebenso kann man, wenn man annimmt, dass die Gleichung 
irreductibel sei und ihr Grad ausgedrückt werde durch 
wo a l5 a 2 , ..., oc (0 von einander verschiedene Primzahlen sind, 
die Auflösung dieser Gleichung zurückführen auf diejenige 
von Vj Gleichungen vom Grade a x , v 2 Gleichungen vom Grade a 2 ’ 
v 3 Gleichungen vom Grade a 3 u. s. w. 
Nachdem ich diese Theorie allgemein dargestellt haben werde, werde 
ich sie auf die Kreisfunctionen und auf die elliptischen Functionen an 
wenden. 
§ 1. 
Wir wmllen zunächst den Fall betrachten, wo vorausgesetzt wird, dass 
zwei Wurzeln einer irreductiblen *) Gleichung derart mit einander ver 
bunden seien, dass man die eine rational durch die andere ausdriicken könne. 
Es sei 
1) <p(z) = 0 
eine Gleichung vom Grade p. und x' und x t die beiden Wurzeln, welche 
unter einander durch die Gleichung 
2) x' — 
verbunden sind, wo «kc eine rationale Function von x und von bekannten 
Grössen bezeichnet. Da die Grösse x' eine Wurzel der Gleichung ist, so 
hat man <p(af) = 0 und zufolge der Gleichung (2): 
3) <p (0#j) = 0. 
*) Eine Gleichung cp(.r) = 0, deren Coefficienten rationale Functionen einer ge 
wissen Anzahl von bekannten Grössen a, b, c, ... sind, heisst irreductibel, wenn 
es unmöglich ist, irgend eine ihrer Wurzeln durch eine Gleichung niedrigeren Grades, 
deren Coefficienten ebenfalls rationale Functionen von a, b, c,... sind, auszudrücken.