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Die Ludolph’sche Zahl n. 
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l’i des Weges ausmachen, findet sich endlich der absolute Be 
trag des Integrales nicht grösser als 
also 
der abs. B. v. 
Bezeichnen also M, M', l die grössten unter den Werthen 
Mi, Ml'', li resp., welche allen Combinationen h, i entsprechen, 
so findet man schliesslich, dass die sämmtlichen Grössen 
ihrem absoluten Betrage nach die Grenze 
nicht überschreiten. Hierbei sind M, M', l Werthe, welche 
von m unabhängig sind, und demnach sinkt die bezeichnete 
Grenze wegen ihres ersten Faktors mit unendlich wachsendem 
m schliesslich unter jeden Grad von Kleinheit herab. Gleiches 
wird demnach auch mit dem absoluten Betrage der Grössen 
£;‘ Wi und Gleiches also auch mit demjenigen der Grössen £ 0 , 
... geschehen: für alle m, welche eine gewisse Zahl 
ft übertreffen, wird der absolute Betrag dieser Grössen beliebig 
klein sein, z. B. derjenige von £ 0 kleiner als Eins. Da aber 
die linke Seite der ersten der Gleichungen (8), welche gleich 
£ 0 war, immer eine ganze Zahl ist, muss für alle m > ft ihr 
Werth die Null sein. 
Die linken Seiten der übrigen n Gleichungen (8) waren 
aber die Wurzeln der Gleichung (10); da nach dem Gesagten 
diese Wurzeln sämmtlich nach ihrem absoluten Betrage be 
liebig klein werden, sobald m > ft ist, muss das Gleiche auch 
gelten von ihren Coefficienten U 1} U 2 , .. . Z7 W ; diese letzteren 
werden z. B., ft hinreichend gross gewählt, sämmtlich kleiner 
als Eins und folglich, da sie ganze Zahlen bedeuten, sämmt 
lich gleich Null sein müssen. Dann sind es aber auch die 
Wurzeln der Gleichung (10) selbst, d. h. die linken Seiten der 
Gleichungen (8). Man findet also im Ganzen, dass für alle 
hinreichend grossen Werthe von m die Gleichungen stattfinden: