Neunte Vorlesung: Weierstrass’ Beweis etc. 
111 
Neunte Vorlesung. 
Weierstrass’ Beweis von der Transcendenz der Zahl 7t. 
1. Weierstrass begründet seinen Beweis für die Trans 
cendenz der Zahl n auf einen Hilfssatz, zu dessen Herleitung 
ihm die Her mite sehe Untersuchung über die Zahl e den 
Weg angegeben hat. Direkter als er selbst es gethan hat, 
wollen wir hier mit unserer Betrachtung an jene Untersuchung 
anknüpfen, indem wir zu der Formel (24) der 6. Vorlesung 
zurückkehren. Wir wählen darin x — 1 und erhalten die 
Gleichung 
worin 
(2) %{z) = F(t) + F(i) + • • • + Ftofe), 
ft aber der Grad der ganzen Funktion F(z) ist. Nun seien 
ganze Funktionen n -f- l teu bez. w ten Grades, deren erstere 
lauter ungleiche Wurzeln haben soll, während die Coef'fi- 
cienten der letztem ganz willkürlich sind; und man wähle nun 
(4) 
Bei dieser Wahl findet sich 
= h\*)M n , m • m m ~ l ■ m 
Gv m! ' in, _ 1U 
ml 1 (m — 1)! 
’"M _ , 9 *'(*) • № m - x • f (*) 
Vv ml ' ^ (m— 1U 
(m — 1)! 
Mz); № m ~* • №* m • m m ~ x • r\z) 
u. s. w. Man kann demnach $(0) nach den fallenden Potenzen 
von f(z) geordnet denken, und, wenn man so 
+ ¿7^ («)./*(*) + H m {0)