Weierstrass’ Beweis von der Transcendenz der Zahl n. 123 
Kreisradius, mittels Zirkel und Lineal d. h. durch eine gewisse 
Reihe von Construktionen der genannten beiden Arten con- 
struirbar sein soll, so muss ihre Grösse ermittelt werden 
können, indem man eine entsprechende Reihe von algebraischen 
Gleichungen der angegebenen Art löst und verknüpft. Die 
gesuchte Grösse entsteht mit andern Worten aus der Ge 
gebenen mittels einer Reihenfolge rationaler Operationen und 
Wurzelausziehungen, sodass, wie leicht einzusehen ist, eine 
gewisse algebraische Gleichung hergestellt werden kann, 
welcher sie genügt. Ihr Werth wäre demnach — mit Be 
nutzung des von uns eingeführten Ausdrucks — eine algebra 
ische Zahl. Ist nun aber die Seite jenes Quadrates eine 
solche, so ist’s auch der Inhalt des Quadrates, welcher, wenn 
er dem Inhalte des Kreises vom Radius r gleich sein soll, 
bekanntlich durch nr 2 oder, falls wir den Kreisradius zur 
Längeneinheit wählen, durch die Zahl tc gemessen wird. Diese 
müsste also, wäre die Quadratur des Kreises möglich, eine 
algebraische Zahl sein; da wir sie als eine nicht algebra 
ische erkannt haben, ist die Quadratur des Kreises unmöglich. 
So ist es das rühmliche Verdienst des Herrn Linde 
mann, indem er uns die an sich höchst interessante Erkennt- 
niss vermittelte von der eigentlichen Natur der Zahl n, zu 
gleich eins der berühmtesten Probleme der Mathematik 
endgiltig, wenn auch in negativem Sinne, erledigt zu haben; 
und dies Verdienst wird auf keine Weise durch die grössere 
Einfachheit geschmälert, welche dem späteren Beweise von 
Weierstrass vor dem seinigen den Vorzug giebt. Aber 
freilich darf man nicht vergessen, wie ihm durch die geist 
volle Untersuchung des Herrn Ch. Hermite über die Zahl e 
die principielle Grundlage schon gegeben war, auf der er nur 
weiterzubauen brauchte und die allein den Erfolg seiner Be 
mühungen ermöglichte. 
7. Die Abhandlung von Weierstrass enthält nun auch 
noch den Beweis einiger allgemeineren Sätze, welche Linde 
mann gleichfalls schon ausgesprochen, aber ohne ausgeführten 
Beweis gelassen hat. Wir wollen uns, indem wir in dieser 
Hinsicht auf die Abhandlung selbst verweisen, damit begnügen, 
nur diese Sätze selbst hier anzufügen.