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unmöglich. Dieser Satz enthält in sich die von Her mite 
bezüglich der Zahl e gewonnene Erkenntniss; denn er besagt, 
wenn man für x 1; x. 2 , ... x r irgend r von einander verschie 
dene ganze Zahlen wählt, dass e keine algebraische Zahl 
sein kann. Er lässt zudem leicht eine Verallgemeinerung 
zu, indem man unter x 1} x 2 , . . . x r irgend r von einander 
verschiedene algebraische Zahlen verstehen darf. 
Endlich aber lässt der Satz noch eine Erweiterung zu 
und verwandelt sich so in den nachstehenden, welcher alle die 
vorigen umfasst: 
Allgemeinster Satz: Bedeuten x t , x 2 , ... x r irgend 
r von einander verschiedene, X lt X 2 , .. . X r aber be 
liebige algebraische Zahlen, von deren letztem eine 
wenigstens von Null verschieden ist, so ist die 
Gleichung 
(21) 
2 
¿=1 
Xe 
0 
unmöglich. 
Wählt man z. B. r = 2, X x — — 1, x 2 = 0 und ersetzt 
x 1} X 2 durch die Zeichen x, X, so nimmt vorstehende Glei 
chung die Form an 
(22) e* = X. 
Dem allgemeinen Satze gemäss kann diese nicht bestehen, 
wenn x, X gleichzeitig algebraische Zahlen und x von x 2 — 0 
verschieden ist. Demnach findet der besondere Satz statt: 
Die Exponentialgrösse e x ist stets eine trans 
cendente Zahl, wenn x eine von Null verschiedene 
algebraische Zahl ist.