Zehnte Vorlesung: Ueber die kubischen Irrationellen. 
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'Da x in der Gleichung (22) der natürliche Logarithmus 
von X ist und dem Werthe x = 0 der Werth X — 1 ent 
sprechen würde, folgt aus (21) gleichermassen auch folgender 
zugehörige zweite Satz: 
Der natürliche Logarithmus einer algebraischen 
Zahl X ist immer eine transcendente Zahl, wenn X 
nicht den Werth 1 hat. 
Zehnte Vorlesung. 
Ueber die kubischen Irrationellen. 
1. Während wir in den voraufgehenden Vorlesungen von 
Untersuchungen berichten konnten, welche ihren endgiltigen 
Abschluss bereits gefunden haben, wollen wir nun zum Schlüsse 
noch eine Frage berühren, die noch vieler eingehender Unter 
suchungen bedürfen wird, bevor sie in einer ähnlich befrie 
digenden Weise beantwortet sein wird. In der vierten Vor 
lesung haben wir für die quadratischen Irrationellen ein ihnen 
durchaus eigenthümliches arithmetisches Kennzeichen her 
geleitet, darin bestehend, dass sie und nur sie allein in einen 
periodischen Kettenbruch der dort näher angegebenen Art 
entwickelt werden können. Es ist auch bereits daran die 
Frage geknüpft worden, ob für die Irrationellen höheren 
Grades ein ähnliches arithmetisches Kennzeichen vorhanden 
sei und worin es bestehe. 
Wie wichtig und interessant der Nachweis eines solchen 
sein würde und welch reiches Feld der Forschung sich hier 
eröffnet, ist kaum nöthig besonders hervorzuheben; es sei aber 
erlaubt, eine Stelle aus Hermite’s zahlentheoretischen, an 
Jacobi gerichteten Briefen*) ausführlich hier beizubringen, 
welche sehr anregend über diese Frage sich äussert. Sie findet 
*) Extrait de lettres de M. Ch. Hermite à M. Jacobi sur différents 
objets de la théorie des nombres.