Full text: Vorlesungen über die Natur der Irrationalzahlen

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Zehnte Vorlesung 
genau in derselben Weise zu einander bestimmt sind, wie 
früher die Grössen 
Mij V'} 'IV-i, l;, 'IHi ; 
infolge davon müssen zwischen jenen dieselben Formeln be 
stehen, die wir in voriger Nummer für die letztem hergeleitet 
haben; z. B. finden sich an Stelle der Gleichungen (15) und 
(16) gegenwärtig nachstehende Gleichungen: 
(26) 
und 
(27) 
JP.u 
— Pi Ui 
T -(- 
yVi -j- P i + 2 lVi 
F 
= P 'i U i 
-f- P i+1 Vi -f- P i+2 Wi 
Fi iv Q = 
= Pi Ui 
-f- Pi-\-\Vi -f- Pi-\- 2 lVi 
' u ; 
Fi 
= PiU o 
© 
's. 
+ 
4- PiW0 
; 
v i 
= qiuo 
+ pv o 
+ ql'w o 
w { 
F~. 
= n u a 
+ nv o 
+ r'i Wq . 
* 
Die erste der Gleichungen (26) lehrt offenbar, dass 
Fi immer eine ganze complexe Zahl ist. 
5. Nach diesen Vorbereitungen betrachten wir nun eine 
ganze complexe Zahl 
xu 2 -f- yu z 
mit unbestimmten Coefficienten x, y, z. Ihre Norm N(x,y,z), 
nämlich das Produkt 
(28) (xu 2 + yu + z) ■ (xß* -t-yß-\- 0 ). (xy 2 + yy + z) 
ist offenbar eine homogene Funktion dritten Grades von 
x, y, z mit bezüglich der Wurzeln a, ß, y der kubischen 
Gleichung (19) symmetrischen also ganzzahligen Coeffi 
cienten, eine sogenannte ternäre kubische Form. Man 
findet sie in der That durch eine einfache Rechnung gleich 
(29) c 3 2 x 3 — c 2 c 3 x 2 y -f c x c 3 xy 2 — c 3 y 3 + (c 2 2 — 2c l c 3 )x 2 z 
+ (c! 2 — 2c 2 )xz 2 + c 2 ifz — c x yz 2 -f (3c 3 — c x c 2 )xyz + Z 3 . 
(30) 
Wird nun auf diese Form die Substitution angewendet: 
X — P,-X -f- Pi+iy' P i+2 Z 
1 y = Pi X -{- P i+1 y -f- P, + 
. Z = Pi X -{- Pi+iy -f- Pi-\-20 ,
	        
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