Ueber die kubischen Irrationellen. 
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(58) (£> — rjl) i[>i(a) — (§,"a — rj'^cp^a) = 3co t a 2 — A t 
beachtet, für A t folgender positive Werth: 
(59) 
v i w > 
und damit und mit Rücksicht darauf, dass auch —, — 
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den Formeln (50) positiv sind, aus der Gleichung (58) die 
Ungleichheit: 
Ai < 3co i • a 2 . 
J. u i 
Hiernach ist d. h. (nach (59)) ^_p,-(a) stets kleiner 
(60) 
als 3a 2 , bleibt also bei unendlich wachsendem Index i end 
lich; es kann aber auch dabei nicht unendlich klein werden, 
sobald c5 i} <p/(a), fi(cc) endlich bleiben. Denn alsdann er 
halten c5i und, wie wir gesehen haben, auch rji, 
J. 
rj'i', und folglich auch — nur eine endliche Anzahl von 
i 
Werthen, nicht eine unbegrenzte Reihe von Werthen, welche 
gegen Null convergirt. Weil nun 
gesetzt werden kann, folgt aus dem eben Gesagten, dass, wenn 
oöi, <jPj(a), ^¿(a) bei wachsendem i unter einer endlichen 
Grenze bleiben sollen, nothwendigerweise — Pi(ß)pi(y) gleich- 
U- 
falls endlich bleiben muss. 
Diese nothwendige Bedingung ist aber auch hinreichend. 
Hierzu bemerken wir zuerst, dass die erste und letzte der 
Gleichungen (25), wenn zugleich i um eine Einheit verringert 
wird, durch Division mit einander folgende neue Gleichung 
geben: 
l 
w i 
ihr zufolge ist stets grösser als Eins. Ferner ist 
9Pi(«) = i>i+i( a ) *Pi(ß)Pi(y)