Erste Vorlesung. 
Definition der Irrationalzahlen. 
1. Es ist bekannt, dass die Arithmetik ihren Ausgangs 
punkt von den positiven ganzen Zahlen nimmt, welche die 
sogenannte natürliche Zahlenreihe 
1, 2, 3, 4, 5, 6, ... . 
bilden, dass diese jedoch keineswegs ausreichen, um alle arith 
metischen Aufgaben zu lösen. Man muss vielmehr zu diesem 
Zwecke zu den positiven noch die negativen ganzen Zahlen, 
zu den ganzen Zahlen die gebrochenen hinzunehmen, und er 
hält so die Gesammtheit der rationalen Zahlen, welche all 
gemein als Verhältnisse zweier ganzen Zahlen dargestellt 
werden können. Aber auch mit den rationalen Zahlen kommt 
man noch nicht aus. Fragen wir z. B. nach der Bedingung, 
unter welcher die Gleichung 
(1) a; 2 = D, 
wenn D eine positive Zahl ist, eine rationale Wurzel hat, so 
kann diese Wurzel entweder eine ganze Zahl x — n sein, und 
folglich müsste dann D das Quadrat einer ganzen Zahl, 
D = n 2 , sein; oder x ist eine gebrochene Zahl, x — dann 
kann dieser Bruch auf seine kleinste Benennung gebracht, also 
p, q als zwei ganze Zahlen ohne gemeinsamen Theiler an 
genommen werden, während q von 1 verschieden ist. Aus der 
Gleichung (1) ergäbe sich dann * 
p 2 = I)q 2 , 
und folglich müsste jede in q aufgehende Primzahl auch in p 
enthalten sein, gegen die Voraussetzung. Hiernach kommen 
B ach mann, Irrationalzahlen. 1