Definition der Irrationalzahlen. 
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Dq — lep 
positiv sind. Setzt man dann in der Formel (2) 
%=p, y = q, x' = h, y = 1, 
so liefert sie folgende Beziehung: 
(p 2 _ Bq 2 ) ■ (Je 2 — D) = (jpk — JDqf — 1) ■ (p - qltf, 
oder auch wegen (3): 
p 2 — Dq 2 = 0, 
wenn unter p', q die beiden positiven ganzen Zahlen 
p' = Dq—pit, q = p — qk 
verstanden werden, von welchen nach der zweiten der Un 
gleichheiten (4) q < q ist, was der Bedeutung 1 von q wider 
streitet. 
2. Der soeben auf zwiefache Weise bewiesene Satz ist 
nur der einfachste Specialfall eines weit allgemeineren. Um 
letzteren einfach aussprechen zu können, betrachten wir irgend 
eine algebraische Gleichung von beliebigem Grade: 
ax m -f- a 2 x m ~ 2 + • • • -f- a m = 0, 
in welcher die Coefficienten ganze Zahlen oder, indem wir 
den höchsten immer gleich 1 voraussetzen wollen, die Gleichung 
(5) x m + A X x m ~ l + A 2 x m ~ 2 -| (- A m = 0, 
in welcher die Coefficienten rationale Zahlen sind. Die Wurzel 
jeder solchen Gleichung werden wir mit Ivronecker kurz 
eine algebraische Zahl und, wenn sämmtliche Coefficienten 
ganzzahlig sind, eine ganze algebraische Zahl nennen. 
Der Satz, den wir meinen, lautet dann einfach so: Eine 
ganze algebraische Zahl ist eine gewöhnliche ganze 
Zahl, wenn sie rational ist. Denn, ist x — — eine ra- 
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tionale Lösung der Gleichung (5), wobei wieder p, q als zwei 
ganze Zahlen ohne gemeinsamen Theiler vorausgesetzt werden 
dürfen, so giebt die Einsetzung dieses Werthes in die Glei 
chung (5) sofort folgende Beziehung: 
p m = — q \_A x p m ~ x + A 2 p m ~ 2 • q 4 A m q m ~ 1 ] 
d. h. p m gleich einem Vielfachen von g, und demnach wäre p 
durch jeden in q enthaltenen Primfaktor theilbar, was der An-