Definition der Irrationalzahlen. 
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nügen, jene zu klein, diese zu gross, mit den Quadraten 12,96 
und 13,69; ebenso zwei meist genäherte Zahlen unter den 
zweistelligen Deeimalbrüchen, 3,60 und 3,6t, etwas zu klein 
und etwas zu gross, mit den Quadraten 12,9600 und 13,0321 
u. s. w. Kurz, es lassen sieh zwei unbegrenzte Reihen ratio 
naler Zahlen aufstellen: 
3,6; 3,60; 3,605; 3,6055; 3,60555; 
3,7; 3,6t; 3,606; 3,6056; 3,60556; 
(6) 
von der Beschaffenheit, dafs zwar die Quadrate der ersteren 
Zahlen stets zu klein, die Quadrate der letzteren stets zu gross 
sind, dass jedoch, wenn die Zahlen dieser beiden Reihen nach 
einander für x eingesetzt werden, die Gleichung x 2 = 13 mit 
stets wachsender Annäherung gelöst, der begangene Fehler 
stets kleiner wird, und verschwindend klein werden würde, 
wenn man jede dieser beiden Reihen ins Unendliche fortsetzen 
würde. Die beiden Reihen haben zudem die Eigenschaft, dass 
die erstere eine Reihe wachsender, die zweite eine Reihe ab 
nehmender Zahlen ist, und dafs der Unterschied zwischen zwei 
entsprechenden Gliedern beider Reihen unter jeden Grad von 
Kleinheit herabsinkt, wenn man die Reihen weit genug fort 
setzt. Aus dieser Ursache wollen wir die erstere Reihe die 
ansteigende, die zweite die absteigende, beide zusammen 
aber zwei gegen einander convergirende Zahlenreihen 
nennen. 
Aus dem Gesagten geht nun hervor, dass, wenn die 
Gleichung x 2 — 13 durch eine Zahl gelöst wird, diese stets 
zwischen den sich entsprechenden Gliedern der beiden 
Zahlenreihen (6) enthalten sein muss, und da die Glieder 
gegen einander convergiren, d. h. schliesslich sich um weniger 
von einander unterscheiden, als irgend ein angebbarer Werth, 
sich von diesen Gliedern selbst um so weniger wird unter 
scheiden können. Wir dürfen jene Zahl x dann also als den 
gemeinsamen Grenzwerth beider gegen einander con- 
vergirenden Zahlenreihen bezeichnen. Umgekehrt, wenn 
eine Zahl x existirt, welche stets von diesen beiden Reihen 
umschlossen wird und daher als ihr gemeinsamer Grenzwerth 
bezeichnet werden darf, so darf diese auch als eine Lösung der