Definition der Irrationalzahlen. 
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sächlich erfüllbar ist. Genau ebenso werden wir das unter (8) 
definirte Zahlzeichen oder die durch die Reihen (7) bestimmte 
Zahl als den Ausdruck einer bestimmten Forderung 
auffassen können, nämlich der Forderung, die beiden gegen 
einander convergirenden Zahlenreihen gleichzeitig unbegrenzt 
fortzusetzen oder zu durchlaufen. 
Der eigentliche Unterschied zwischen der Heine’schen 
Auffassung der Zahl als das Zahlzeichen (8) und der zuvor 
erwähnten Auffassung dürfte dann so ausgesprochen werden 
können: Während wir hier die Zahl als den Ausdruck der 
genannten Forderung selbst definiren, setzt jene Auffassung, 
nach der sie der gemeinsame Grenzwerth beider Reihen (7) 
ist, die Zahl als das Resultat der geforderten Opera 
tion, als dasjenige fest, zu dem man gelangen würde, wenn 
man die Forderung erfüllte oder erfüllen, nämlich die Werth 
reihen ins Unendliche durchlaufen könnte. Diese Festsetzung 
enthält aber, wie bemerkt, eine Behauptung oder eine An 
nahme, welche sich nie erweisen lässt, während die Heine’sche 
von allem Hypothetischen frei ist. 
5. Gleichviel nun, ob man den allgemeineren Zahlenbegriff 
in der angegebenen Weise nur rein formell oder als das Zahl 
zeichen (8) definirt, oder den von uns angegebenen realen 
Sinn damit verbinden will, eins bleibt noch zu erörtern, in 
wiefern inan nämlich berechtigt sei, das so Definirte als eine 
Zahl zu charakterisiren. Zu diesem Zwecke suchen wir klar 
zu stellen, was bei der Erweiterung des rationalen Zahlen- 
begrififes noch unter Zahl verstanden werden kann und soll. 
Zunächst dürfen wir natürlich nicht verlangen, dass der 
erweiterte Zahlenbegriff unter die üblichen Definitionen des 
gewöhnlichen sich einbegreifen lasse; aber umgekehrt muss 
die rationale Zahl als besonderer Fall in dem erweiterten 
Zahlenbegriffe enthalten sein. Dieser Forderung nun ge 
nügt der Heine’sche allgemeine Zahlenbegriff, denn 
es ist bemerkt worden, dass jede rationale Zahl als gemein 
samer Grenzwerth zweier gegen einander convergirender Zahlen 
reihen aufgefasst werden kann. Bedenken wir ferner, dass der 
alleinige Zweck der Erweiterung des Zahlenbegriffes, schon 
beim ersten Schritte über die positiven ganzen Zahlen hinaus,