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Erste Vorlesung 
die Zahlen g und £ rationale Zahlen sind. Denn liegt eine 
rationale Zahl z stets zwischen a t und b iy eine andere £ stets 
zwischen cq und ß iy so liegen selbstverständlich z -{- £? #—£> 
#£ resp. zwischen den sich entsprechenden Gliedern der gegen 
einander convergirenden Zahlenreihen (9), (10), (11), und 
können demnach als mit ihren Grenzwerthen übereinstimmend 
definirt werden. 
Bei der Differenz 
sind mehrere Fälle möglich. Aus den Ungleichheiten 
&*-(-1 ^ ®t-pl ßi~\~ 1 ßi> 
welche bei ihr bestehen, folgt zuerst, dass, wenn bi— für 
einen bestimmten Werth des Index negativ ist, es auch für 
alle grösseren Werthe desselben so bleibt, und um so mehr 
dann auch a* — ß y \ dann sind also die sämmtlichen Zahlen der 
beiden Zahlenreihen von einer bestimmten Stelle an negativ, 
und demnach ist dann auch g — £ als eine negative Zahl 
anzusehen und man nennt z < £. Wird zweitens bi— cci 
niemals negativ, so ist es vom Anfang an und dauernd posi 
tiv; ist dann gleichzeitig a t — ßi wenigstens von einer be 
stimmten Stelle an positiv, so wird man auch g — £ als eine 
positive Zahl anzusehen haben, und man nennt z > £. Wenn 
dagegen — ßi niemals positiv wird, sondern dauernd — und 
vom Anbeginn — negativ bleibt, so haben wir drittens zwei 
Zahlenreihen, eine ansteigende, aus negativen Zahlen bestehende, 
und eine absteigende, aus positiven Zahlen gebildete Reihe, 
welche demnach die Null immer zwischen sich fassen, und 
welche ihr auch unendlich nahe kommen, weil der Unterschied 
zwischen zwei sich entsprechenden Gliedern beider Reihen 
unter jeden Grad von Kleinheit herabsinkt. In diesem Falle 
also wird der gemeinsame Grenzwerth der beiden Zahlenreihen 
die Null sein, man hat g — £ = 0, oder die beiden Zahlen 
g, £ sind einander gleich: g — £. 
So oft überhaupt die Null als Grenzwerth zweier gegen 
einander convergirender Zahlenreihen dargestellt wird, muss 
die ansteigende Reihe aus negativen, die absteigende Reihe