Definition der Irrationalzahlen. 
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aus positiven Zahlen bestehen, welche unter jeden Grad von 
Kleinheit herabsinken. Denn, würde z. B. die ansteigende 
Reihe an einer bestimmten Stelle positiv, so würde sie dauernd 
es bleiben und sich von der Null entfernen, während die 
absteigende ihr nicht unendlich nahe kommt, da ihre Glieder 
über den entsprechenden der absteigenden Reihe bleiben. Die 
Null wird also nicht von den Reihen eingeschlossen, sie kann 
nicht ihr gemeinsamer Grenzwerth sein, der vielmehr als eine 
positive Zahl angesehen werden muss. 
Setzen wir in der Differenz z — £ 
di — ß ,■ = — bi — cci = E if 
so sind, wenn z — £, d. h. wenn 
/ ßi dA = / «A 
'-ßi -j- Bi) \ßj 
ist, dem Obigen zufolge e { positive Werthe, die mit wachsen 
dem Index i unendlich klein werden, während stets d e - -f- Ei 
> ßi — cCf. bleibt, und man erhält umgekehrt die Gleichheit 
für die Grenzwerthe zweier Paare gegen einander convergirender 
Werthreihen, von denen das eine Paar a i} ß if das andere Paar 
ßi — di, a,i -{- Ei zu entsprechenden Gliedern der an- und ab 
steigenden Reihen hat, wenn d i} £,• positive Werthe bedeuten, 
welche mit wachsendem i unendlich klein werden. 
7. Nach diesen Bemerkungen über die Null, über die 
Gleichheit zweier Zahlen, und wie sie, falls sie ungleich sind, 
nach der Grösse geordnet zu denken sind, können wir uns 
zur Definition des Quotienten wenden, die uns noch fehlt. 
Wir müssen dab«, gerade wie bei dem Quotienten rationaler 
Zahlen, voraussetzen, dass der Divisor, er sei £, von Null ver 
schieden sei, d. h. also, dass die Zahlen a { , ß i} welche, wie 
oben, positiv angenommen werden, nicht mit wachsendem 
Index unendlich klein werden. Sie bleiben demnach, wie gross 
i auch werde, jedenfalls immer über einer gewissen endlich 
angebbaren Zahl y. Wir definiren nun den Quotienten 
j durch die Gleichheit: