Ueber algebraische Zahlen. 
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oder es ist p = m — 1, v < n — 1; dann gehört das zweite 
Glied rechts zu den Grössen o t -, das erste aber kann mittels 
der Identität 
cc m -f- A 1 a m ~ 1 -f A 2 a m ~ 2 H -f- A m = 0 
auf die Form 
— A l • a m ~ 1 ß v — A 2 • a m ~ 2 ß v A m ■ a°ß v 
gebracht, d. h. als ein linearer Ausdruck mittels einiger der 
Grössen coi und rationalen Coefficienten dargestellt werden, 
womit wieder die Behauptung erwiesen ist; 
oder es ist p < m — 1, v = n — 1, dann führt die Identität 
ß v + B 2 ß v ~ 2 H h = 0 
zu dem gleichen Ziele; 
oder endlich es ist p = m— 1, v = n—1; dann bedarf 
es nur der Anwendung dieser beiden Identitäten, um die Be 
hauptung als richtig zu beweisen. Da nun die gleichen Be 
trachtungen auch gelten, wenn co die Differenz a — ß oder 
das Produkt aß bedeutet, so lassen sich in allen drei Fällen 
p Gleichungen aufstellen: 
O Oj = JC\ CJj —{- Je2 CO-2 —J- • • • -f - JCp COp 
CO CO2 = JCi CO^ —j- Je2 C0 2 •"{— * • * -f- JCp COp 
co COp == Ji\ coi -j- JC2CO2 -f- • • • -f" Je(p COp, 
deren sämmtliche Coefficienten Je\ rational sind, und denen 
man auch die Gestalt geben kann: 
0 = (hi — o) • Oi —(— hi O2 ~{- * • ' -f- JCpGOp 
, . 0 = hi Oi -{- (Je2 — o) ■ co2 -f" • • • “l - hp COp 
\p) 
. 0 = hi Oi -}- 7c| 02 -f- • • • -j- (hp — o) • cop. 
Hier müssen wir nun den Begriff eiuer Determinante und die 
einfachsten Sätze über sie voraussetzen. Da die Grössen o t - 
nicht sämmtlich Null sind, denn unter ihnen befindet sich 
auch das Produkt 1*1, so muss, einem solchen Satze zufolge, 
die Determinante der Gleichungen (5), nämlich der Ausdruck 
2*