Ueber algebraische Zahlen.
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Verbindet man diese Bemerkung mit dem zuvor Be
wiesenen, so leuchtet ein, dass auch — eine algebra-
7 7 a c
ische Zahl sein muss. Und da jeder aus a und ß rational
zusammengesetzte Ausdruck entsteht, indem man eine Anzahl
Additionen, Subtraktionen, Multiplikationen und Divisionen in
gewisser Reihenfolge ausführt, so ist die Behauptung hiermit
erwiesen: ein jeder Ausdruck dieser Art ist gleichfalls
eine algebraische Zahl.
3. Der zweite allgemeine Satz, den wir beweisen wollen,
lautet folgendermassen: Wenn co Wurzel einer algebra
ischen Gleichung ist, deren Coefficienten algebra
ische Zahlen sind, so ist co selbst eine algebraische
Zahl.
Denn besteht die Identität
co n -}- ata® -1 -f- ßco n ~ 2 -{-... -|- y — 0,
in welcher a, ß, • • • y algebraische Zahlen sind, der Art, dass
folgende Identitäten stattfinden:
a a -f- A x a a ~ 1 -}-••• -f- A# — 0
ß b + Sißb -i + ... + B b = 0
f + C l f- l + --- + C r =0,
in denen die Coefficienten sämmtlich rationale Zahlen sind,
und bezeichnet man das Produkt nab • • • c wieder zur Ab
kürzung mit p, mit co l , co 2 , • • • co p aber die sämmtlichen Pro
dukte von der Form:
co n ' • a a ' ■ ß b ‘ ■ • • y c ’ }
in denen die Exponenten resp. kleiner sind als n, a, b, • • • c,
so überzeugt man sich ohne Mühe genau wie bei dem Be
weise des vorigen Satzes, indem man nur die obigen Identi
täten verwendet, dass die p Produkte
coco 1 , co g>2, * * * coco p
sämmtlich auf die Form
Tii C0 X -j- k2 GJg -{- ' ’ * -j“ kp COp
gebracht werden können, während die k-, durch Additionen,
Subtraktionen und Multiplikationen aus den A i} B i} • • • Q