Full text: Vorlesungen über die Natur der Irrationalzahlen

Ueber algebraische Zahlen. 
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Verbindet man diese Bemerkung mit dem zuvor Be 
wiesenen, so leuchtet ein, dass auch — eine algebra- 
7 7 a c 
ische Zahl sein muss. Und da jeder aus a und ß rational 
zusammengesetzte Ausdruck entsteht, indem man eine Anzahl 
Additionen, Subtraktionen, Multiplikationen und Divisionen in 
gewisser Reihenfolge ausführt, so ist die Behauptung hiermit 
erwiesen: ein jeder Ausdruck dieser Art ist gleichfalls 
eine algebraische Zahl. 
3. Der zweite allgemeine Satz, den wir beweisen wollen, 
lautet folgendermassen: Wenn co Wurzel einer algebra 
ischen Gleichung ist, deren Coefficienten algebra 
ische Zahlen sind, so ist co selbst eine algebraische 
Zahl. 
Denn besteht die Identität 
co n -}- ata® -1 -f- ßco n ~ 2 -{-... -|- y — 0, 
in welcher a, ß, • • • y algebraische Zahlen sind, der Art, dass 
folgende Identitäten stattfinden: 
a a -f- A x a a ~ 1 -}-••• -f- A# — 0 
ß b + Sißb -i + ... + B b = 0 
f + C l f- l + --- + C r =0, 
in denen die Coefficienten sämmtlich rationale Zahlen sind, 
und bezeichnet man das Produkt nab • • • c wieder zur Ab 
kürzung mit p, mit co l , co 2 , • • • co p aber die sämmtlichen Pro 
dukte von der Form: 
co n ' • a a ' ■ ß b ‘ ■ • • y c ’ } 
in denen die Exponenten resp. kleiner sind als n, a, b, • • • c, 
so überzeugt man sich ohne Mühe genau wie bei dem Be 
weise des vorigen Satzes, indem man nur die obigen Identi 
täten verwendet, dass die p Produkte 
coco 1 , co g>2, * * * coco p 
sämmtlich auf die Form 
Tii C0 X -j- k2 GJg -{- ' ’ * -j“ kp COp 
gebracht werden können, während die k-, durch Additionen, 
Subtraktionen und Multiplikationen aus den A i} B i} • • • Q
	        
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