Die quadratischen Irrationellen. 
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S k + h il k i 7i — x = 
gA+A+1 , Pk+h-lt 
so lehrt sie zunächst für iedes h > 1, dass 
£ il k+h 
> Pk+h— i ist. Wird aber sogar li > 2 vorausgesetzt, so kann 
■■. , , A nicht zugleich auch grösser sein als p k +h—i -f- 1 
£ n ^ 
denn sonst würde s k + h £lkJ th —i grösser, also 
** + *£>' 
£ M k+h — 1 
kleiner sein als die Einheit, und wenn man um eine Stelle 
weiter zurückginge, würde aus der analogen Formel 
S k + h ii 
Pk + h — 2 
k + /i — 1 
gegen das zuvor Bewiesene für s k + h — 1 il k ^. h _ 2 ein negativer 
Werth hervorgehen, da solange jedenfalls Ti -f- li — 2 > 0, 
also ptc+h—2>1 bleibt. Für /¿>2 ist demnach pk+h—i 
die grösste ganze Zahl, welche in , , . ,V — ent- 
£ il k+h 
halten ist. 
4. Nach diesen Vorbereitungen kehren wir zur Glei 
chung (10) zurück. Weil die Zahlen Ak+n, -¿U-h+i ent 
gegengesetzte Vorzeichen haben, sobald li > 1 ist, lehrt jene 
Gleichung, wenn man i — li li darin setzt, dass weder die 
Zahlen Ak+h die endliche Grenze D, noch die Zahlen Bk+h 
die endliche Grenze ]/D überschreiten, dass mithin diesen 
ganzen Zahlen nur eine endliche Menge verschiedener Werthe 
zukommen kann. Es wird daher nothwendig geschehen 
müssen, dass in der fortlaufenden Reihe benachbarter Formen 
endlich einmal die Coefficienten einer derselben mit den Coeffi- 
cienten einer früheren übereinstimmen, und zwar wird dies 
wegen des wechselnden Vorzeichens der äusseren Coefficienten 
nach einer geraden Anzahl zwischenliegender Formen ein- 
treten müssen. Sei also, indem der Kürze wegen Ti -f- Ti — n 
gesetzt Wird, A n 1 A n -f-2 r , B n A n -j-1 An-f-2r-f-l‘ 
Dann ist auch £l n = £l n+2r , und, da p n , p n -\-2r die grössten 
in s n il n , s n + 2r £i n .j- 2r resp. enthaltenen Ganzen sind, auch