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Vierte Vorlesung 
p n — Pn+ir- Daher folgt nun nach der Gleichung (11) 
B n +i — B n +2r+i, sowie endlich nach der Gleichung (12) 
auch A n -i-2 — d-n + 2r+2, d. h. die beiden, in der Reihe äqui 
valenter Formen auf jene beiden bezüglich folgenden Formen 
sind wieder identisch; und hieraus schliesst man in Fort 
setzung derselben Ueberlegungen, dass von der Form (A n + 2r , 
s n +^ r Jß n s r 2ry ^.»+2r+i) ab die sämmtlichen auf (A n , s n B n , 
A n +i) folgenden Formen sich wiederholen, dass also mit 
andern Worten von der Form (A n , s n B n , A n +1) an die 
ganze Reihe benachbarter Formen aus einer unendlich oft 
wiederholten Periode von 2r Formen besteht. Da dasselbe 
alsdann bezüglich der Reihe p n , p n +1, p n +z, • • • gelten muss, 
findet sich auf solche Weise offenbar zunächst der Satz be 
wiesen: Hat eine quadratische Gleichung mit ganz 
zahligen Coefficienten und einer Determinante, welche 
keine quadratische Zahl*) ist, eine positive Wurzel, 
so ist die Kettenbruchentwicklung dieser Wurzel 
periodisch — die genaue Umkehrung des am Schlüsse der 
vorigen Vorlesung erhaltenen Ergebnisses; denn es ist von 
selbst einleuchtend, dass die in diesem Ergebnisse vorkom 
mende quadratische Gleichung zur Determinante keine (posi 
tive) Quadratzahl haben kann, weil sonst die Wurzeln der 
Gleichung rational würden, also nur eine endliche, keine 
periodische d. h. unendliche Kettenbruchentwicklung zulassen 
würden. 
Es scheint zwar, als sei im Vorigen dieser Satz nur für 
die erste Wurzel ß 0 bewiesen. Indessen, wenn ßo gleichfalls 
positiv ist, kann genau dieselbe Betrachtung auch für diese 
zweite Wurzel angestellt werden und führt zu demselben Er 
gebnisse. Die leichten Veränderungen, welche dabei eintreten, 
sind nur die, dass s i + h A k +h negativ, £*+ Ä ß*_|_, t , £ i: + /i + 1 ß i+/i 
positiv werden; es findet sich dagegen, dass alle weiteren 
Schlüsse ihre Giltigkeit behalten, wenn man durchweg die 
ersten und zweiten Wurzeln ihre Rolle tauschen lässt. 
*) Es ist hier nicht nöthig, ausdrücklich diese Zahl als positiv 
vorauszusetzen, weil diese Voraussetzung schon in derjenigen einer posi 
tiven also reellen Wurzel der Gleichung mit einbegriffen ist.