Fünfte Vorlesung: Vorhandensein transeendenter Zahlen etc. 49 
haben demnach in der genannten Eigenschaft ein 
wichtiges arithmetisches Kennzeichen der quadra 
tischen Irrationellen gefunden. 
Fünfte Vorlesung. 
Vorhandensein transeendenter Zahlen. — Geschichtliches 
über die Zahlen e und jt. 
1. Die Frage, ob auch für die Wurzeln von Gleichungen 
mit ganzzahligen Coefficienten, deren Grad höher ist als der 
zweite, ein ähnliches arithmetisches Kennzeichen vorhanden 
ist, als wir zuletzt für die quadratischen Irrationellen gefunden 
haben, ist, wie schon bemerkt, noch eine offene und wir lassen 
ihre nähere Besprechung bis auf eine spätere Stelle. Hier 
treten wir dagegen nun der Frage näher, ob es auch ausser 
den algebraischen Zahlen noch andere, ob es auch trans 
cendente Zahlen giebt. Durch eine sehr schöne und ein 
fache Untersuchung*), welche allein die Betrachtung der oben 
untersuchten Kettenbrüche erfordert, hat Liouville den 
strengen Nachweis geliefert, dass in der That trans 
cendente Zahlen vorhanden sind. Das Wesentliche seiner 
Betrachtung ist Folgendes: 
Man nennt eine Gleichung 
(1) x n + A 1 x n ~ 1 -j- Ä 2 x n ~ 2 -| -f- A n - X x -f- A n — 0 
mit rationalen Coefficienten irreduktibel, wenn der Ausdruck 
w ten Grades zur Linken nicht in Faktoren geringeren Grades 
mit gleichfalls rationalen Coefficienten zerlegbar ist. Eine 
solche Gleichung kann keine rationale Wurzel — haben, weil 
sonst jener Ausdruck den rationalen Faktor x — ^ besässe. 
Auch müssen alle ihre Wurzeln ungleich sein, denn andern- 
*) Journal v. Liouville, Bd. 16: sur des classes tres étendues de 
quantités dont la valeur n’est ni algébrique ni meme réduetible ä des 
irrationelles algébriques. 
Bachmann, Irrationalzahlen. 
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