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Fünfte Vorlesung 
5. Betrachten wir nämlich einen unendlichen 
Kettenbruch 
(9) 
m 
n -j- m' 
ri -J- m" 
n" -f- wri" 
ri" -f- •. 
in welchem sowohl die einzelnen Zähler m, ?ri, m", • • • 
als auch die einzelnen Nenner n, n, n", • • • ganze 
Zahlen sind, deren letztere offenbar, indem man den 
jedesmaligen Zähler mit passendem Vorzeichen nimmt, 
positiv vorausgesetzt werden dürfen, so wird der 
Werth des Kettenbruchs wesentlich irrational sein 
müssen, sobald die einzelnen Brüche —, , • • • 
7 n 7 n 7 n 7 
numerisch kleiner sind als Eins. 
Um sich hiervon zu überzeugen, bemerke man zunächst, 
dass der Kettenbruch keinenfalls grösser als Eins werden 
kann. Denn, da — numerisch kleiner als Eins sein soll, so 
ist der numerische Werth von m kleiner als 
1; w + 
aher ist sicher > n — 1, also 
n -f- 
numerisch kleiner als 
Eins. Dasselbe gilt aus ähnlichen Gründen von dem Bruche 
ri + 
folglich ist n -f- 
ri + 
grösser als n 
1 und 
demnach n r \—. 77 numerisch unter der Einheit, u. s. f.: 
n -f- m ’ 5 
n" 
wie weit der Kettenbruch auch fortgesetzt werde, er wird 
niemals die Einheit übertreffen. Das Gleiche wird aber 
auch von denjenigen Kettenbrüchen gelten, welche aus dem 
vorigen hervorgehn, wenn man einen oder mehrere der Brüche 
am Anfänge desselben unterdrückt. 
Auch der Einheit gleich sein kann der ins Unendliche 
fortgesetzte Kettenbruch, resp. die letztgenannten Theile des