Vorhanden sein transcendente! - Zahlen etc. 
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selben, nur in einem einzigen Falle. Soll nämlich, wo zur 
Abkürzung co für den Kettenbruch 
m' 
n -1- m" 
n" -f- m'” 
n'" -j- •. 
steht, y =-j- 1 oder ■ m = 1 sein, so folgt aus 
7 n -j- Co OT-J-CO 0 
—m = n -f- co nothwendig, dass co — — 1 also n = -f- m ~F 1 
sei; dann müsste, unter co' den Kettenbruch 
m" 
n"-f- m’" 
n" -f- 
verstanden, —7-^—7 — — 1, m' — — n — co' sein. Hieraus 
folgt aber nothwendig co' = — 1 also n == — m' + 1 u - s - f-; 
sodass der Kettenbruch co nur dann die Einheit zum Grenz- 
werthe haben kann, wenn er die Gestalt hat: 
m 
+ m + 1 + w»' 
— m’ -f- 1 -f- m" 
— m" + 1 + m'" •. 
Da jedoch die Kettenbrüche, welche wir hier zu betrachten 
haben werden, diese Gestalt nicht besitzen, dürfen wir von 
diesem Ausnahmefalle absehn und dann sagen: Der Ketten 
bruch (9) und die daraus durch Unterdrückung von 1, 2, 
3, • • • Brüchen am Anfänge hergeleiteten Kettenbrüche sind 
sämmtlich numerisch kleiner als Eins. 
Wollte man nun gegen die Behauptung des Satzes an 
nehmen, der Kettenbruch (9) sei rational, nämlich gleich 
b m 
a n -{- m' 
n’ -j- m " 
n" -j- • . 
so bestimme man Werthe c, d, e, • • • durch nachstehende 
Gleichungen: