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Fünfte Vorlesung 
nachgewiesen werden; doch scheint dieselbe nicht geeignet, um 
auch das allgemeinere Ergehniss von Lambert daraus zu 
gewinnen. Dagegen hat Liouville sie benutzt, um zu zeigen, 
dass weder e selbst, noch auch e 2 Wurzel einer ganzzahligen 
quadratischen Gleichung sein kann. 
Aus der Reihe 
findet man zunächst ohne Mühe, wenn man sie nicht ins Un 
endliche fortsetzt, sondern nach der n ten Potenz abbricht, 
folgende Gleichung: 
*’ = 1 +f + fÜ; + '" + 
+ •■• + 
1 • 2 • 3 • • • m 
1 • 2 • 3 • • • n 
(10) 
,n 
X‘ 
+ 
1-2-3 ■ • - n n 1 — x 
in welcher & einen positiven echten Bruch bezeichnet. Für 
x — 1 liefert diese Formel den Werth von e unter der Form: 
(11) 
1-2-3■•■n n 7 
wobei n eine beliebig grosse Zahl bedeutet. Wäre demnach 
e eine rationale Zahl, so dürfte man unter n auch den Nenner 
des möglichst gekürzten Bruches e = ~ verstehen, und er 
hielte sodann aus der vorigen Gleichung, indem man sie mit 
1-2-3 ••• n multiplicirt und die so entstehenden ganzzahligen 
Bestandtheile sämmtlich nach links schafft, eine Gleichung 
von der Form: N-—, in welcher links eine ganze Zahl N, 
rechts aber ein echter Bruch steht, was widersinnig ist. Die 
Zahl e ist daher jedenfalls irrational. 
Nun setze man ferner in (10) x = — 1 und bezeichne 
— 1 mit e, so kommt 
(12) 
j c v— 
' 1 • 2 • 3 • • • n n -f- 2 ’