Vorhandensein transcendenter Zahlen etc. 
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wobei wieder 0' einen positiven echten Bruch bezeichnet, 
welcher aber mit 0 in der Gleichung (11) nicht dasselbe zu 
sein braucht. Nehmen wir nun an, e sei Wurzel einer qua 
dratischen Gleichung 
ax 2 — bx + c = 0 
mit ganzzahligen Coefficienten a, b, c, so dürfen wir zuvörderst 
den ersten der Coefficienten als positiv voraussetzen, und 
müssten dann also 
haben, eine Gleichung, welche nach Einsetzung der Reihen (11) 
und (12) für e und e~ 1 folgende Gestalt erhält: 
) 
l 
«( 1 + 1 + tV+- + 
+ c (^1 + £ + + ' " + 
1-2-3 ■ ■ n 
1-2-3 ■ - n 
s n + 1 &’ 
1-2-3 ■ ■ ■ n n -f- 2 
1-2-3■■ ■ n n 
Hieraus folgt aber durch Multiplikation mit 1 • 2 • 3 • • • n und, 
wenn die ganzzahligen Bestandtheile darauf nach rechts ge 
schafft werden, 
unter N eine gewisse ganze Zahl verstanden. Nun liess sich 
n zunächst so wählen, dass C£”+ 1 positiv wird. Hierzu ist ja 
nur nöthig, n gerade oder ungerade zu wählen, jenachdem c 
negativ oder positiv ist. Ferner aber gilt unsere Betrachtung, 
wie grofs diese so gewählte Zahl n auch sei; mit wachsendem 
n wird aber endlich der positive Ausdruck links kleiner als 
die Einheit, während die Zahl N rechts immer eine ganze 
Zahl bleibt; dies ist ein Widerspruch und folglich kann e 
nicht Wurzel einer quadratischen Gleichung mit 
ganzzahligen Coefficienten sein. 
Dasselbe gilt nun aber auch für e 2 . Um dies zu er 
weisen, erinnern wir zuerst an eine bekannte Formel der 
Zahlentheorie. Bezeichnet E(x) das grösste Ganze, welches in