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So sind wir zunächst auf anderem Wege zu dem 
Kettenbruche zurüekgef iihrt worden, welchen für 
tang # schon Lambert angegeben hatte. 
2. Aber wir wollen uns nun genauer mit dem Ausdrucke 
A n beschäftigen. Man kann statt desselben einen zweiten von 
ganz anderer Gestalt aufstellen, wenn man die Integrationen 
in den Definitionsgleichungen ohne die Reihenentwicklung für 
sin x, mit Anwendung vielmehr der partiellen Integration aus 
führt. Man findet so zunächst 
l x =Jx sin x tlx = sin x — x cos x 
0 
X 
A 2 =^*xA x dx = (3 — x 2 ) sin x — 3# cos x 
o 
X 
A 3 =JxA.,dx — (15 — 6# 2 ) sin# 
x 3 ) cos x 
u. s. w. Es stellt sich hiernach für A n die allgemeine 
Form heraus: 
(9) A n = *l>(x) • sin# -f i(x) • cos#, 
wo ^(#) eine gerade ganze Funktion vom n ten bez. 
(n — l) tea Grade ist, jenachdem n gerade oder un 
gerade, %(x) eine ungerade ganze Funktion vom 
(n — l) ten oder w ten Grade je nach den beiden unter 
schiedenen Fällen ist; die Coefficienten dieser Funk 
tionen sind ganze Zahlen. Wir wollen vor allen Dingen 
das Induktionsgesetz bestätigen. 
Dazu bemerken wir zuerst die leicht durch partielle In 
tegration zu erhaltenden Formeln 
cp(x) sin xdx = sin # • 0\x) — cos # • <D(x) 
cp(#) cos xdx — sin # • <5(#) -f- cos # • 3>'(#), 
in welchen zur Abkürzung