I X 
Hermite’s Untersuchung der Zahl e. 
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W(x) } X(x) bedeuten dabei, was aus <P(«) entsteht, wenn 
bezw. xty{x) und x%(x) für <p(«) gesetzt werden. W(x) muss 
daher eine ganzzahlige ungerade Funktion (n -f- l) ten und 
demnach W\x) eine gerade Funktion w ten Grades, X(x) eine 
ganzzahlige gerade Funktion n ten Grades, demnach X\x) eine 
ungerade Funktion (n — l) ten Grades sein. Zieht man daher 
zusammen: 
A n+ 1 = sin« • {W\x) + X(x)) — cos« • (*F(«) — X («)), 
so ist nun, wo der Index n -f- 1 eine ungerade Zahl ist, der 
sin x in eine gerade Funktion w ten , der cos x in eine ungerade 
Funktion (n -f- l) ten Grades multiplicirt, das Induktionsgesetz 
also um einen Schritt weiter bestätigt. Da dasselbe Ver 
fahren auch in dem Falle eines ungeraden n anwendbar ist 
und zum Ziele führt, ist also der allgemeine Nachweis ge 
führt, dass das bezüglich A n aufgestellte Gesetz ohne Aus 
nahme giltig ist. 
3. Nun kann man leicht den ersten Ausdruck (3) für 
A n in die Gestalt eines bestimmten Integrales überführen. 
In der That giebt die partielle Integration zunächst folgende 
Reduktionsformel: 
1 
(12) J*{1 — z 2 ) n • z 2k dz — 
2k 
2n -f 2k 
Tr/ (1 - 
z 2 ) n • z 
,2(k- 
'^dz, 
durch deren wiederholte Anwendung die Gleichung hervor 
geht: 
J 
(1 — z 2 ) n ■ z 2k dz 
(13) 
1-3-5 
(2n -j- 3) (2 n -f- 5) 
Es ist aber 
{2k— 1) 
• • (2n —J- 2k —h 1) 
■J (1 — z 2 ) n dz. 
1 
ß 
1 
ß 
(1 — z 2 ) n dz = I (1 — z 2 ) 71 — 1 dz 
x 
~j 1 — ¡Ff 
dz, 
und die Hilfsformel (12) liefert, wenn darin n — 1 statt n 
und Je = 1 gesetzt wird, 
IR 
». i