Hermite’s Untersuchung der Zahl e. 
gesetzt wird. Wenn nun n gerade ist, so ist, wie gefunden 
worden, t^(«) und also auch W(x) eine gerade Funktion n ten , 
l(x) und daher auch X(«) eine ungerade Funktion (n — l)* 
Grades; daher wird der Faktor von sin « zur Rechten in (21) 
in diesem Falle eine ungerade Funktion (n— l) ten Grades, 
der Faktor von cos x eine gerade Funktion w ten Grades sein. 
Ist im Gegentheil n ungerade, so findet sich in gleicher Weise 
der Faktor von sin x als eine ungerade Funktion w ten , der 
von cos x als eine gerade Funktion (n — l) ten Grades. 
Endlich ist W(0) — X'(0) eine gewisse Konstante, welche C 
heisse. Setzt man 
X'O) - W(x) = «.,(*), V{x) + X(x) == *,(*), 
so verhalten sich il> x (x), % x (x) ganz entsprechend den mit 
^(«), %{x) bezeichneten beiden Funktionen, und man hat 
A' n — ^ x («) cos x -f- % x (x) sin x + G. 
Eine neue Integration liefert 
X 
An =J(f x («) cosx -f- % x (x) sinx)dx -f- Cx 
0 
= (Xi(«) + ’P’i (x)) sin x -f- ((«) — Xi («)) cos x Ar Cx 
+ X x (0)~ ^i(O). 
Nach der angemerkten Natur der Funktionen tp x («), % x {pc) 
aber ergiebt sich zunächst X^O) = 0, W x (0) — 0, und wenn 
man dann 
X;(x) + W x (x) = tl> 2 (x), Wi(x) — X x (x) = &(«) 
setzt, so verhalten sich die Funktionen ^ 2 («), % 2 («) wieder 
ganz genau so, wie die Funktionen ip(x) } %(x) resp., und die 
vorige Gleichung wird: 
An — i> 2 ( x ) sin« -f- i 2 (x) cos« -(- Cx. 
In gleicher Weise findet man nunmehr leicht: 
c 
An = ^ 3 («) cos« + Xa( x ) sin« -f~ + C'