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A\ = fi(x) sin # -f %i( x ) cos# + 
Ah = il’iix) cos# -f- £*(#) sin# -f- 9D*(V), 
wobei 4>i(x) eine gerade Funktion n ten oder (n — l) ten , 
%i(x) eine ungerade Funktion (n— l) ten oder w ten Grades 
bedeutet, jenachdem n gerade oder ungerade ist, 
während <p,(#) eine ganze Funktion von x ist, deren 
Grad gleichzeitig mit i—1 gerade oder ungerade ist. 
6. Betrachtet man nun irgend zwei aufeinanderfolgende 
Glieder der Reihe A n , A' n , Ah', An', •••,*z. B. grösster Ein 
fachheit wegen die beiden ersten Glieder: 
il’ix) sin x -f- %(x) cos x — A n 
hix) sin# -f- cos# — Ah — G, 
so lassen sich die so gebildeten Gleichungen nach den Grössen 
sin#, cos# auflösen und ergeben im betrachteten Falle: 
sin# • R(x 2 ) = # • T(# 2 ) -f An • f x (x) — A'n - %(x) 
cos # • R(x 2 ) = S(x 2 ) — A n - Xi ( x ) + Ah ■ ^(#), 
wenn ifj(x)-ip 1 (x) — x( x ) Xi(. x )> was e i ne gerade Funktion von 
# vom Grade 2n ist, mit R(# 2 ), die gerade Funktion 
— C-^(x) mit S(x 2 ), die ungerade Funktion 0-%(#) mit x-T(x 2 ) 
bezeichnet wird. Nach den für A n , Ah gegebenen Reihen 
ausdrücken beginnen die nach steigenden Potenzen von # ent 
wickelten, rechts noch ausser den ersten Gliedern stehenden 
Produkte offenbar erst mit # 2 ”+ x bezw. # 2w + 2 . Denkt man 
sich also die Produkte sin # • R(# 2 ), cos # • R(# 2 ) gleichfalls 
nach den steigenden Potenzen von # entwickelt, und vernach 
lässigt alle Potenzen, welche die vom Grade 2n übersteigen, 
so müssen die Entwicklungen mit den ganzen Funktionen 
# • T(x 2 ), S(pc 2 ), deren Grade höchstens gleich n sind, bezw. 
übereinstimmen. Diesen Umstand wollen wir hinfort kurz in 
der Weise ausdrücken, dass wir sagen: sin#, cos# seien 
bis auf Potenzen vom Grade 2n den rationalen 
Brüchen bez. gleich, welche demnach als 
Näherungsbrüche mit demselben Nenner bezeichnet 
werden können.