Vierte Vorlesung. 
Die Grmrvoperationen. 
In vier Gebieten begegnen wir den ersten mathematischen 
Begriffen: in der Naturbetrachtung, in der Selbstbeobachtung, in 
dem Sein und in der Form des Denkens. Die nächste Auf 
gabe ist nun, die gewonnenen Begriffe weiter zu bearbeiten und 
zu entwickeln. Die Naturbetrachtung hat uns gelehrt, daß die 
Mathematik drei Theile habe: Arithmetik, Geometrie und Me 
chanik. Diese sind so geartet, daß sie nicht neben einander lie 
gen, sondern sich wie Allgemeines zu Besonderem verhalten. Die 
Mechanik betrachtet nämlich die Bewegung, die Geometrie die 
Räumlichkeit und die Arithmetik die Existenz der Dinge. Lassen 
wir nun aus dem Bewegungsbegriff die Zeit weg, so bleibt blos 
das durch die Bewegung erzeugte starre Raumbild, ein System 
von Hier und Da's, von Strecken und Gestalten. Heben wir 
weiter das Hier und Da, die Strecken und Gestalten auf, so 
bleibt blos der leere Begriff der Existenz, in der nur noch die 
Frage nach dem Wieviel einen Sinn hat. Wir gelangen 
also durch Abstraktion von der Mechanik durch die Geometrie 
hindurch zur Arithmetik. Umgekehrt führt uns die Determina 
tion von der Arithmetik durch die Geometrie zur Mechanik. 
Denn setzen wir, daß die Existenzen hier oder da sind, so wer 
den sie räumlich und die Arithmetik wird Geometrie; und setzen 
wir hier das Hier und Da veränderlich, so setzen wir die Zeit 
und gelangen zum Begriffe der Bewegung.