Note sur le mémoire No. 4 du second tome du journal de M. Crelle, ayant
pour titre ”remarques sur les séries infinies et leur convergence
On trouve pag. 54 dans ce mémoire le théorème suivant pour reconnaître si
une série est convergente ou divergente:
”Si l’on trouve que dans une série infinie le produit du n mc terme ou du
”n mc des groupes de ternies qui conservent le même signe, par n, est zéro pour
”/î=oo, on peut regarder cette seule circonstance comme une marque, que la
’’série est convergente; et réciproquement, la série ne peut pas être conver
gente si le produit n.a n n’est pas nul pour n = oo.”
La dernière partie de ce théorème est très juste, mais la première ne
semble pas l’être. Par exemple la série
—^ 1 i_4 1— 1
21og2 31og3 41og4 wlog/i
est divergente quoique na n = —-— soit zéro pour n=oo. En effet les loga-
lo %n °
rithmes hyperboliques dont il est question sont toujours moindre que leurs
nombres moins 1, c’est-à-dire, on a toujours log(l-\-x)<x. Si x>l cela
est évident. Si x<l on a
log(l-j-x) = x—x 2 (i — 'x)— x*Q—^x) . . .
donc aussi dans ce dernier cas log(l -\-x)<x, puisque ^ — ^.r, 1— ^x sont
tous positifs. En faisant x—JL, cela donne
n
logfl -f- -?-) < — ou bien log- 1+w - < J-,
V n/n ° n n
OU
log(l + 7z)<— -j- Iogrc <(î -f- —1—^ logn :
« \ ' n log n J ®
log log (1 -}- n) < log log n + log (l -1 -i ) .
V n log n /
donc