Full text: Contenant les oeuvres de l'auteur qui ont été publiées auparavant (Tome 1)

Note sur le mémoire No. 4 du second tome du journal de M. Crelle, ayant 
pour titre ”remarques sur les séries infinies et leur convergence 
On trouve pag. 54 dans ce mémoire le théorème suivant pour reconnaître si 
une série est convergente ou divergente: 
”Si l’on trouve que dans une série infinie le produit du n mc terme ou du 
”n mc des groupes de ternies qui conservent le même signe, par n, est zéro pour 
”/î=oo, on peut regarder cette seule circonstance comme une marque, que la 
’’série est convergente; et réciproquement, la série ne peut pas être conver 
gente si le produit n.a n n’est pas nul pour n = oo.” 
La dernière partie de ce théorème est très juste, mais la première ne 
semble pas l’être. Par exemple la série 
—^ 1 i_4 1— 1 
21og2 31og3 41og4 wlog/i 
est divergente quoique na n = —-— soit zéro pour n=oo. En effet les loga- 
lo %n ° 
rithmes hyperboliques dont il est question sont toujours moindre que leurs 
nombres moins 1, c’est-à-dire, on a toujours log(l-\-x)<x. Si x>l cela 
est évident. Si x<l on a 
log(l-j-x) = x—x 2 (i — 'x)— x*Q—^x) . . . 
donc aussi dans ce dernier cas log(l -\-x)<x, puisque ^ — ^.r, 1— ^x sont 
tous positifs. En faisant x—JL, cela donne 
n 
logfl -f- -?-) < — ou bien log- 1+w - < J-, 
V n/n ° n n 
OU 
log(l + 7z)<— -j- Iogrc <(î -f- —1—^ logn : 
« \ ' n log n J ® 
log log (1 -}- n) < log log n + log (l -1 -i ) . 
V n log n / 
donc
	        
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