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Recherches sur les fonctions elliptiques, 
irepuis longtemps les fonctions logarithmiques, et les fonctions exponentielles 
et circulaires ont été les seules fonctions transcendantes, qui ont attiré l’atten 
tion des géomètres. Ce n’est que dans les derniers temps, qu’on a commencé 
à en considérer quelques autres. Parmi celles-ci il faut distinguer les fonctions, 
nommées elliptiques, tant pour leur belles propriétés analytiques, que pour leur 
application dans les diverses branches des mathématiques. La première idée 
de ces fonctions à été donnée par l’immortel Euler, en démontrant, que l’équa 
tion séparée 
dy 
v/ (a+^+y^ 2 +6^ 3 +s^ 4 ) 
/ (a+$y+yy t¿ + hg' 3 + sy 4 
est intégrable algébriquement. Après Euler, Lagrange y a ajouté quelque 
chose, en donnant son élégante théorie de la transformation de l’intégrale 
/ » R dx 
—— — —— , ou R est une fonction rationnelle de x. Mais le pre- 
v/[(l—p 2 æ 2 )(1—ÿ 2 ^ 2 )] ’ r 
mier et, si je ne me trompe, le seul, qui ait approfondi la nature de ces fonc 
tions, est M. Legendre 3 qui, d’abord dans un mémoire sur les fonctions ellip 
tiques, et ensuite dans ses excellents exercices de mathématiques, a développé 
nombre de propriétés élégantes de ces fonctions, et a montré leur application. 
Depuis la publication de cet ouvrage, rien n’a été ajouté à la théorie de M. Lie- 
gendre. Je crois qu’on ne verra pas ici sans plaisir des recherches ultérieures 
sur ces fonctions. 
En général on comprend sous la dénomination de fonctions elliptiques, 
toute fonction, comprise dans l’intégrale 
où R est une fonction rationnelle et «, /?, y, â 9 s sont des quantités constantes 
et réelles. M. Legendre a démontré, que par des substitutions convenables on 
peut toujours ramener cette intégrale à la forme