I 
Recherche des fonctions de deux quantités variables indépendentes x et y, 
telles que f (x, y), qui ont la propriété que f(z, f(x, y)) est une fonction 
symétrique de z, x, et y. 
Si l’on désigne p. ex. les fonctions x -f- y et xy par f(x 3 y), on a pour la 
première f(z 3 f(x 3 y)) = z -f f(x 3 y) = z + x -\-y et pour la seconde 
f(z 3 f(x 3 yf) = z . f{x 3 y) = zxy. La fonction f(x 3 y) a donc dans l’un et l’autre 
cas la propriété remarquable que f(z 3 f(x 3 y)) est une fonction symétrique des 
trois variables indépendentes z 3 x et y. Je vais chercher dans ce mémoire la 
forme générale des fonctions, qui jouissent de cette propriété. 
L’équation fondamentale est celle-ci: 
1. f(%3 f{ x * y)) = une fonction symétrique de x, y et z. 
Une fonction symétrique reste la même lorsqu’on y échange entre elles 
d’une manière quelconque les quantités variables dont elle dépend. On a donc 
les équations suivantes: 
( f(*s y)) = f(z 3 f(y> *))> 
j f(z 3 f(x, y)) — f(x 3 f(z 3 y)), 
2 - { f(z* fi x > y)) — f l** fiy> z )\ 
1 fl x * y)) = f (y, f( x > *)), 
[ f(z 3 f(x 3 y)) = f(y 3 f(z 3 x)) • 
La première équation ne peut avoir lieu à moin qu’on n’ait 
f(x 3 y) = f(y 3 x) 
c’est-à-dire f(x 3 y) doit être une fonction symétrique de x et y. Par cette 
raison les équations (2.) se réduisent aux deux suivantes: 
5 f f( x > y)) — f(?j f(y> z )) 
\ f(z 3 f(x 3 y)) = f(y 3 f(z 3 x)). 
Soit pour abréger f(x 3 y) — r\ f{y 3 z) = v; f(z 3 x) = s; on aura 
U f(z 3 7') — f(x 3 v) = f(y 3 s) 
1