XX. 
Démonstration d'une propriété générale d'une certaine classe de fonctions 
transcendantes. 
Théorème. Soit y une fonction de x qui satisfait à une équation quelconque 
irréductible de la forme: 
1) 0=p 0 +p 1 .y+p 2 y+ • • • +p n - 1 -y n 1 + y n 
°ù p Q9 p 19 p z9 ...p»- x sont des fonctions entières de la variable x. Soit 
une équation semblable, q 0 , q l9 q 2 ,... q n - x étant également des fonctions entières 
de x, et supposons variables les coefficiens des diverses puissances de x dans 
ces fonctions. Nous désignerons ces coefficiens par 0, a', 0",... En vertu 
des deux équations (1) et (2) x sera fonction de a, a\ 0",... et on en déter 
minera les valeurs en éliminant la quantité y. Désignons par: 
5) 
le résultat de l’élimination, en sorte que p ne contiendra que les variables x, 
«, 0', 0",.. . Soit y le degré de cette équation par rapport à x, et désignons par 
4) 
ses y racines, qui seront autant de fonctions de a, a\ 0",... Cela posé, si 
l’on fait 
XIX — f f(x, y). d.v 
S) 
où f(x, y) désigne une fonction rationnelle quelconque de x et de y, je dis, 
que la fonction transcendante qx jouira de la propriété générale exprimée par 
l’équation suivante: 
6) XpXj+XpXz +... + V*? = M +^i log^i+^2 1°S v * + • • ■• ■+ k» lo » V n J 
0, v 19 v t9 ... v n étant des fonctions rationnelles de 0, a', a",. .., et k l9 k i9 ...k n 
des constantes. 
Démonstration. Pour prouver ce théorème il suffit d’exprimer la diffé 
rentielle du premier membre de l’équation (6) en fonction de 0, 0', 0",...; car