V 
Démonstration d’une expression de laquelle la formule binôme 
est un cas particulier. 
{jette expression est la suivante: 
(x -f- «)“ = X" + Y a (x -j- fi)"" 1 + a (a — 9,(1) (x + 2(i)"-* 
• • •+” ( ”'i ) ; 2 ;|”^ +1) 
... -f- j- a ( a — ( n — l)fî) n ~ 2 (x-j-(n—l)fî)-j-a(a— nfi)*- 1 . 
x 3 a et p sont des quantités quelconques, n est un nombre entier positif. 
Lorsque n = 0, l’expression donne 
{x -f- a) 0 = x°, 
comme il faut. Or on peut, comme il suit, démontrer que si l’expression sub 
siste pour n = m 3 elle doit aussi subsister pour n = m + 1, c’est-à-dire elle 
est vraie en général. 
Soit 0+«)-=*«+ £ «(*+,5)—* + a (a - 9(1) (x + 9,«)-* 
... + a («— (m—l)/?)” 1 “ 2 (x-\~(m—«(«—mp) m ~ x 
En multipliant par (in -f- 1 )dx et intégrant, on trouvera: 
(.r-j- a) m+1 = # m+1 -j- a (x— a (« — 2p){x-\-2p) T "^ 1 
... -f- a (a—mp)”' r ~ 1 (x-\-mp) -f- C; 
C étant la constante arbitraire. Pour trouver sa valeur soit 
x — — {m + 1)&, 
et les deux dernières équations donneront: 
(« — (m-f l) m [(m + i) m p m — m m ap m ~ x -f ” (w — l)” 1 " 1 « (« — 2P)p m ~' z 
m(m-1) 
a (a — 3/5) 2 (m—2) m_2 /5 m ~ 3 . .J 
2.3