§ io. Berechn, der Kugelbreite b aus der sphäroid. Breite B. 
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§ 10. Berechnung der Kugelbreite b aus der sphäroidischen Breite B. Diese 
Aufgabe läfst sich auf ganz ähnliche Art lösen wie die vorige, 
nämlich durch Entwickelung des Unterschiedes B — b in eine nach 
Potenzen von B — B 0 fortschreitende Reihe (vergl. Art. 6 der Gauss’ 
sehen Abhandlung). Mit Übergehung dieser hier entbehrlichen Reihe 
ist nachstehend eine andere Lösung gegeben, und zwar durch zwei 
Reihen, die nicht blos für verhältnifsmäfsig kleine Abstände vom 
Normalparallelkreis genügend konvergiren, sondern für alle Breiten 
von o° bis nahe an 90° scharf, und zwar nahezu gleich scharf, sind. 
Führt man nämlich die Hülfsgröfse Z ein, indem man setzt: 
25) MZ = Ma.e г sin B 
1 4- — e 1 sin* B -1—— e* sin 4 B A—— <? 6 sin 6 B 
3 5 7 
+ — * 8 sin 8 B 
9 
— (« — 1) log tan 45 0 -f~ 
B 
log k, 
so ist: 
26) B — b = qZcos B 
1 -}- ' Z sin B 4- - r Z* (1 — 2 cos 2 B) 
2 6 
-j Z l (1 — 6cos*B) sin B +••• 
M 
Nachdem Z nach 25) berechnet ist, erhält man B — b nach 26) in 
Sekunden. 
Da Z stets kleiner als '/öoo ist, so konvergirt die Reihe 26) sehr 
rasch, so dafs bei zehnziffriger Rechnung das letzte angesetzte Glied 
in allen Fällen unmerklich ist. 
Man erhält B — b mit zehnstelligen Logarithmen mindestens bis 
auf o"00000 01 genau, unter der Voraussetzung' jedoch, dafs die ge 
brauchten Tafellogarithmen bis auf den Abrundungsfehler von höchstens 
einer halben Einheit der letzten Stelle genau sind. 
Wir benutzen die Formeln zur Erlangung einer scharfen numerischen Probe der Formeln 
des vorigen Paragraphen, indem wir aus den beiden nach 24) gefundenen Werthen von B 
wieder rückwärts die entsprechenden Werthe von b berechnen. Die auf einander folgenden 
Reihenglieder mit I, II, III, ... bezeichnend, hat man: 
B= 44° 41' 3; 96571 566. 
6i° 2' 19" 09816 570. 
1= 4- 0, 
00202 72238 06.0 
+ 0, 00253 73060 93.7 
11= + 
22039 99.5 
+ 43 2i 4 05.1 
m = -f 
43 I3- 1 
+ 13248.0 
IV — + 
10.0 
T 48-4 
v = 
0.0 
-|- 0.2 
-f- 0, 00202 94321 28.6 
+ 0, 00254 16407 95.4 
— («— 1) log tan (45°+ 1 ^B) = — 
17 02332 29.7 
— 26 62915 85.1 
— log £ = — 
167 08806 75.8 
— 1670880675.8 
MZ = + o, 
00018 83182. 23.1 
-f 0, 00060 44685 34.5 
log Z= 6,637108036.4 , 7, 1 4358 9387-4